科技视界 Science & Technology Vision Science & Technology Vision 科技视界 科技 · 探索 · 争鸣 1）单调类定理：设是一个集合系（类），如果是一个域，那么 σ（）＝m（），其中σ（ ）和 m（）分别是生成的σ域（代 数）和单调系（类） 2）证明该定理需要用到的定理（参见参考文献[1]）: 定理1：σ域是单调系 定理2：一个既是单调系又是域的集合系必是σ 域 定理3：包括全空间的环是域 3）单调类定理的详细证明 证明：欲证σ（）＝m（），只需证：（1）σ（）劢m（）；（2）σ （）奂m（） 先证（1 ）：因为① 奂σ（），②σ（）是单调系（定理1），所以 m（）奂σ（） 故（1）成立 再证（2）：欲证（2），只需证：③ 奂m（）；④m（ ）是 σ域 因 为③显然成立，所以只需证④ 欲证④，只需证：⑤m（）是单调系；⑥m（）是域 因为⑤显然 成立，所以只需证⑥ 欲证⑥，只需证：⑦X∈m（）；⑧m（）是环（定理3） 因为 X∈奂m（），所以⑦成立；欲证⑧，只需证m（）对有限并运算 和差运算封闭，即证坌A，B∈m（）都有A∪B，A＼B∈m（）。
对m （）中的每个集合B，我们把m（）中的每个与B对有限并运算和 差运算封闭的集合A收集起来组成一个集合系，然后考察这个集 合系究竟包含些什么东西 即对坌B∈m（），设集合系＝{A：A， A∪B，A＼B∈m（）}，下证＝m（） 即证⑨奂m（）；⑩ 劢m（） 由于坌A∈，总有A∈m（），从而奂m（），即⑨ 成立 欲证⑩，只需证：輥輯訛是单调系；輥輰訛奂 欲证輥輯訛，即证对的任一单调集合列{An∈，n＝1，2，…}都有 lim n→∞An∈ 设{An∈ ，n＝1，2，…}任意单调不减序列，那么An，An∪ B，An＼B∈m（），从而{An，n＝1，2，…}，{An∪B，n＝1，2，…}，{An＼B，n＝ 1，2，…}都是单调不减序列，从而lim n→∞An＝ ∞ n ＝ 1 ∪An∈m（ ）；（lim n→∞An）∪B＝ （ ∞ n ＝ 1 ∪An）∪B＝ ∞ n ＝ 1 ∪（An∪B）∈m（ ）；（lim n→∞ An）＼B＝（ ∞ n ＝ 1 ∪An）＼B＝ ∞ n ＝ 1 ∪（An＼B） ∈m（），从而lim n→∞An∈ 同理可证当{An∈，n＝1，2，…}为单调 不增序列时也有lim n→∞An∈ 。
輥輯訛得证 欲证輥輰訛，即证对于坌A∈，都有A∈ 欲证A∈，只需证 对于坌B∈m（）都有輥輱訛A∈m（）；輥輲訛A∪B∈m（）；輥輳訛A＼B∈m （），由于輥輱訛显然成立，因此只需证对坌A∈和坌B∈m（），都 有輥輲訛和輥輳訛同时成立 于是对坌A∈，我们把m（）中每一个和A 满足輥輲訛和輥輳訛的集合B都收集起来组成一个集合， 然后考察这个集 合系究竟包含些什么东西 即对坌A∈，设集合系＝{B：B，A∪B， A＼B∈m（）}，下证＝m（） 即证輥輴訛奂m（）；輥輵訛劢m （） 由于坌B∈，总有B∈m（），从而輥輴訛成立 欲证輥輵訛，只需证輥輶訛是单调系；輥輷訛奂 欲证輥輶訛，即证对于中任意的单调序列{Bn∈，n＝1，2，…}都有 lim n→∞ An∈ 设{Bn∈，n＝1，2，…}是中任一单调不减序列，那么 Bn，Bn∪A，A＼Bn∈m（），从 而{Bn，n＝1，2，…}，{Bn∪A，n＝1，2，…}， {A＼Bn，n＝1，2，…}是单调不减序列，从而lim n→∞ Bn＝ ∞ n ＝ 1 ∪Bn∈m（ ）；（lim n→∞ Bn）∪A＝（ ∞ n ＝ 1 ∪Bn）∪A＝ ∞ n ＝ 1 ∪（Bn∪A）∈m（ ）；A＼（lim n→∞ Bn）＝A＼（ ∞ n ＝ 1 ∪Bn）＝ A∩（ ∞ n ＝ 1 ∪Bn）c＝A∩（ ∞ n ＝ 1 ∩Bn c ）＝ ∞ n ＝ 1 ∩（A＼Bn）∈m（ ），从而lim n→∞Bn∈ 。
同 理可证当{Bn∈，n＝1，2，…}为单调不增序列时也有lim n→∞Bn∈ 輥輶訛得 证 欲证輥輷訛，即证对于坌B∈，都有B∈ 欲证B∈，只需证对 于坌A∈，都有輦輮訛B∈m（）；輦輯訛A∪B∈m（）；輦輰訛A＼B∈m（） 輦輮訛显然成立，由于是域且A，B∈，因此A∪B，A＼B∈，从而 A∪B，A＼B∈m（），即輦輯訛和輦輰訛成立，輥輷訛得证 【参考文献】 ［1］程士宏.测度论与概率论基础[M].北京:北京大学出版社,2004. ［责任编辑：杨扬］ 单调类定理的详细证明 何明星 （昆明理工大学 理学院，云南 昆明650093） 【摘 要】在大多数测度论教材中，单调类定理的证明过程过于简洁，使得有的初学者在学习该定理时觉得十分困难，往往要经过很长的时 间才能理解该定理 本文给出了该定理的详细证明，旨在帮助初学者快速掌握该定理，更快更好地学习测度论 【关键词】测度论；单调类定理；详细证明 S （上接第125页）摘后立即实施贮藏保鲜，并运用新型的气体保鲜技 术，加工新鲜水果，使水果的冷链物流产业体系可以得到产销结合的 效果[4] 3．4加强冷链物流基础设施建设 在广西的大中城市建造大型的冷库，加强人员配备与管理，小城 镇地区可以建造中小型冷库。
在一些具有一定规模的大型水果加工企 业中，建立一些水果的配货发货点，自行配货发货，提高工作效率 在 销售环节上，可以在农贸市场中建立小型冷库，将水果进行保鲜[5] 政 府也应该在冷库的建立上与完善冷链物流产业上做好提前规划，投入 资金进行建设，并出台相应的政策鼓励冷库建设的改造升级 3．5从生产规模上看，建设生产基地，增强差异化竞争力 广西水果的生产与出口要日益规模化，使传统的广西水果种植方 式与现代的果蔬示范区相结合，建立农业经济合作社，把水果进行统 一包装与统一运输，这样不仅使水果销售更加信息化，同时也可以增 大水果产业销售的规模化 产业结构调整，深入研究越南水果与本地水果的相似点，找到差 异性，扩大种植具有差异性的水果面积[6]，如椪柑、蜜柑、沙田柚、葡萄 柚等水果同时，利用越南无法种植早熟水果的劣势，重点培养具有早 熟特性的水果，如早熟的柿子、梨子与肉梅等，拉开与越南主流水果的 上市期，打“时间差”，这样既突出了广西的地方水果特色，又在价格上 减小越南水果带来的冲击力 【参考文献】 ［1］商琦.广西热带水果发展品牌营销探析[J].法制与经济下旬刊,2010（7）:99-101. ［2］覃毅延，唐连生.广西新鲜果蔬冷链物流发展现状及建议[J].中国经贸导刊， 2012（2）：24-27. ［3］杜凤蕊.中国-东盟农产品物流现状与对策分析[J].对外经贸实务,2013（2）: 89-93. ［4］吕余生,古小松,刘建文.中国-东盟自贸区建成对广西的影响及我们的对策[Z]. ［5］覃如日.论广西果业差异化发展战略[J].中国热带农业,2007（1）：23-24. ［6］滕腾,蓝文永,农贵程.国际金融危机对广西凭祥市边境贸易的影响及对策[Z]. ［责任编辑：杨扬］ S 高校科技 133 。