初一数学：正负数提高认识讲解系列（一） 整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n〔m，n都是整数，且n≠0〕的形式无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比如π，3.1415926535897932384626......而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数这一定义在数的十进制和其他进位制〔如二进制〕下都适用数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数希腊文称为 λογο ，原意为〝成比例的数〞(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成〝有道理的数〞不是有理数的实数遂称为无理数所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环有理数分为整数和分数整数又分为正整数、负整数和0分数又分为正分数、负分数正整数和0又被称为自然数如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书那么用空心字母Q表示有理数集是实数集的子集相关的内容见数系的扩张。
有理数集是一个域，即在其中可进行四那么运算〔0作除数除外〕，而且对于这些运算，以下的运算律成立〔a、b、c等都表示任意的有理数〕：①加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使 0+a=a+0=a；④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交换律 ab=ba；⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还于0此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b0，必可找到一个自然数n，使nba由此不难推知，不存在最大的有理数值得一提的是有理数的名称〝有理数〞这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更〝有道理〞事实上，这似乎是一个翻译上的失误有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是〝理性的〞。
中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了〝有理数〞但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思〔这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同〕所以这个词的意义也很显豁，就是整数的〝比〞与之相对，〝无理数〞就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理有理数加减混合运算1.理数加减统一成加法的意义：对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法那么将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和2.有理数加减混合运算的方法和步骤：〔1〕运用减法法那么将有理数混合运算中的减法转化为加法〔2〕运用加法法那么，加法交换律，加法结合律简便运算一般情况下，有理数是这样分类的：整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质我们日常经常使用有理数的比如多少钱，多少斤等凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数一个困难的问题有理数的边界在哪里？根据定义，无限循环小数和有限小数〔整数可认为是小数点后是0的小数〕，统称为有理数，无限不循环小数是无理数。
但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的关于无理数与有理数无法比较的说明：对于定义无限不循环小数是无理数，无理数之外为有理数那么无理数很难被证实，而每一个无理数，无论认识多少位，都有有理数对应，而位数较短的有理数，都没有无理数对应，因此有理数多对于定义为有限位小数和无限循环小数为有理数，无限不循环数为无理数对于很多位数多的无法分辨的数没有明确归属，而认为大于特定有限位的数都是无理数的人，才能证明无理数比有理数多，但那明显是将很多很多有理数归为无理数的结果。
在这个定义下，由于界限不明，无法进行比较，除非有人能有力的证明无限不循环小数不是有理数，如：0.10100100010000100000......0.1201900012019012019000120190......π 等是无限不循环小数，所以不是有理数循环小数化分数的方法0.777777......有一个数循环，分母是一个9，循环数是7.化分数后是7/90.535353......有两个数循环，分母是两个9，循环数是53.化分数后是53/99我们可以在数轴上表示有理数.注意画数轴的三要素(原点,正方向,单位长度).1、单项式对数字和假设干个字母施行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也是单项式．2、系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．3、单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．4、多项式几个单项式的和叫做多项式．5、多项式的项在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． －6是常数项．6、常数项多项式中，不含字母的项叫做常数项．7、多项式的次数多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．8、降幂排列把一个多项式，按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．9、升幂排列把一个多项式，按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．10、整式单项式和多项式统称整式。
11、同类项所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项．常数项都是同类项．12、合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法那么是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．例：合并以下各式的同类项：13、去括号法那么 括号前是〝+〞号，把括号和它前面的〝+〞号去掉，括号里各项都不变符号； 括号前是〝－〞号，把括号和它前面的〝－〞号去掉，括号里各项都改变符号． 例：a+(b-2c)-(e-2d)=a+b-2c-e+2d14、添括号法那么 添括号后，括号前面是〝+〞号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是〝－〞号，括到括号里的各项都改变符号．例：m+2x－y+z－5=m+(2x－y)－(－z+5)15、整式的加减 整式加减的一般步骤：1.如果遇到括号，按去括号法那么先去括号；2.合并同类项．16、代数式的恒等变形 一个代数式用另一个与它恒等的表达式去代换，叫做恒等变形．如果我有五元钱记作 +5元，我欠别人五元钱记作 -5元，那么 +5+〔-5〕=0 代表我总共只有零元钱那么 +5-〔-5〕=10 代表什么？可不可以代表我应还别人五元钱，别人却反而把五元钱还给我，所以我共有10元钱？在系列〔一〕中提到：如果我有五元钱记作 +5元，我欠别人五元钱记作 －5元，那么 5+〔－5〕=0 代表我总共只有零元钱。
那么 5－〔－5〕=10 代表什么？可不可以代表我应还别人五元钱，别人却反而把五元钱还给我，所以我共有10元钱？现解答如下：以上问题也可以说是正确的，分析如下∶这个问题可以从减法的基本含义来解释，即A－B的意义有三点，一是表示A比B多多少? 二是表示从A中减去或拿掉、用去B后还剩多少三 是引进负数后，Ａ－Ｂ可以人为表示为Ａ＋〔－Ｂ〕，即把减号当做负号，并插入一个加号从以上三点分析知道：第【一】５－〔—５〕可以表示，假如我昨天有５元钱，今天不但没有钱反而欠别人５元钱，那么昨天的钱就比今天的钱多１０元第【二】因为－５代表不但没有钱反而欠别人５元钱，那么减少－５就是说如果少用去借来的５元钱，那我就有现金１０元钱笫【三】把５－〔－５〕表示为５＋［－〔－５〕］，那么－〔－５〕就表示与我欠别人５元钱相反的状态即别人反而欠我５元钱，所以这个算式就可以表述为我有５元钱，如果加上别人欠我５元钱，我总共就有１０元钱晓红与小红在班上学习成绩最好且难分伯仲，为了明确谁是第一，老师给两个人的每一次考试成绩记一次综合评定分，规定成绩达优秀以上记+5分，成绩优良以下记—5分因为两人名字相近，老师在一次评定中本来是晓红+5分，小红—5分却记成晓红—5分，小红+5分，为弥补这一错误，应给晓红另外加上多少分？这是一道初看简单实际复杂的应用题，你有兴趣吗？【答案】在下期公布。
我在笫三期中提到：晓红与小红在班上学习成绩最好且难分伯仲，为了明确谁是第一，老师给两个人的每一次考试成绩记一次综合评定分，规定成绩达优秀以上记+5分，成绩优良以下记-5分因为两人名字相近，老师在一次评定中本来是晓红+5分，小红-5分却记成晓红-5分，小红+5分，为弥补这一错误，应给晓红另外加上多少分？我为什么出这样的题目？因为类似这样的问题我身边熟悉的人从大人到学生一般都会简单地认为应给晓红加10分，当我回答说正确【答案】是20分时，他们几乎不相信，也不知如何验证，现解答如下：笫一种验证方法：原来晓红+5分比小红-5分多10分，即5-〔-5〕=10晓红加上20分后对错误的更正变成20+〔-5〕=15分，对比小红的错误分5分还是多10分，即：15-5=10笫二验证办法：对晓红本人来说5分记成-5分减少10分，即5-〔-5〕=10对小红来说-5记成5分增加10分，即5-(-5)=10所以如果对两个人的成绩都进行更正，就是晓红加10分，小红减10分 因此，也可以小红不减10分，而再给晓红加上10分，即共增加20分，才不会影响两人成绩对比竞争晓红与小红在班上学习成绩最好且难分伯仲，为了明确谁是第一，老师给两个人的每一次考试成绩记一次综合评定分，规定成绩全班第一名得5分，第二名至第六名不得分，第七名以下反扣5分。
晓红在两次数学单元测试中本来都会得第一名，但因其计算粗心，结果成绩如下：第一单元小红第一名，晓红第六名；弟二单元小红笫六名，晓红第七名问晓红因粗心造成两次考试共损失多少分？在系列〔五〕中提到：晓红与小红在班上学习成绩最好且难分伯仲，为了明确谁是第一，老师给两个人的每一次考试成绩记一次综合评定分，规定成绩全班第一名得5分，第二名至第六名不得分，第七名以下反扣5分晓红在两次数学单元测试中本来都会得第一名，但因其计算粗心，结果成绩如下：第一单元小红第一名，晓红第六名；弟二单元小红笫六名，晓红第七名问晓红因粗心造成两次考试共损失多少分？要解这道题，先讲两个问题：笫一是直接损失与间接损失问题在这道题中，直接损失是指晓红因为粗心。