直 积,一、外直积,定义,2.4.1,设 是群，,构造集合 与 的,卡氏积,并在 中定义乘法运算,:,则 关于上述定义的乘法构成群，,称为群 与 的,外直积,(external direct product),，,记作,注,(1),如果 分别是群 和 的单位元,，,则,是 的单位元2),设,，,则,，,(3),当 和 都是加群时,，,与 的外直积也,可记作,定理,2.4.1,设 是群 与 的外直积，则,(1),是有限群的充分必要条件是 与 都是,有限群并且，,当 是有限群时，,有,(2),是交换群的充分必要条件是 与 都是,交换群,;,(3),证,(1),由卡氏积的性质知,，,这是显然的,，,(2),如果 与 都是交换群,，,则对任意的,，,，,有,所以 是交换群反之,，,如果 是交换群,，,那么对任意的,有,即,故,所以,，,都是交换群3),构造映射,则 是一一对应,，,且,因此,，,是 到 的同构映射,，,即,例,1,设 分别是,3,阶和,5,阶的,循环群,，,则 是一个,15,阶的循环群证,首先,，,由定理,2.4.1(1),和,(2),知,，,是一个,15,阶,的交换群设,是 的单位元。
则,所以,，,都不等于,，,可知,，,由拉格朗日定理知,，,即 是,15,阶循,环群例,2,，,这里,证,对于,4,阶群 中的任意元,，,有,因此,，,中没有,4,阶元素,，,故 不是循环群而,4,阶群必同构于循环群或,，,于是,事实上,，,到 的任意一个将零元,(0,，,0),映到,(1),的一一对应都是一个群同构定理,2.4.2,设 是群，,和 分别是 和 中,的有限阶元素则对于 ，,有,证,设 则,(2.4.1),从而 的阶有限,，,设其为,，,则我们要证明,由,(2.4.1),，,我们得,又因为,所以,于是 且,，,从而 是 和,的公倍数而 是 和 的最小公倍数,，,因此,结,合以上讨论得,例,3,我们来确定 中,5,阶元素的个数由定理,2.4.2,，,我们就是要确定 中满足,的元素 的个数显然,这就要求,:,或者 且 或,5;,或者,且,我们分情况来讨论1),此时 有,4,种选择,(,即,:3,，,6,，,9,，,12),，,也有,4,种选择,，,从而共有,16,个,5,阶元2),此时 仍有,4,种选择,，,而 只有一种选择,，,故共有,4,个,5,阶元3),此时 只有一种选择,，,而 有,4,种选择,，,故也有,4,个,5,阶元。
于是,，,共有,24,个,5,阶元定理,2.4.3,设 和 分别是 阶及 阶的循环,群则 是循环群的充要条件是,证,设,，,假设 是循环群,则由于,而 和 的阶都是,，,因此,和 是循环群 中的两个不同,的 阶子群而这与第一章定理,1.5.5,的推论,2,相矛盾，,所以,反之,，,假设,，,则,所以 是 的生成元,，,因此 是循环群二、内直积,定义,2.4.2,设 和 是群 的正规子群如果,群 满足条件,:,则称 是 和 的,内直积,(it internal direct product),定理,2.4.4,设 和 是 的子群则 是 和,的内直积的充分必要条件是 满足如下两个条件,:,(1),中每个元可惟一地表为 的形式，,其中,(2),中任意元与 中任意元可交换，,即,:,对任,意 ，,，,有,证,如果 是 和 的内直积,，,则,所,以,，,中每个元 都可表为 的形式,，,其中,，,如果,则,，,从而,因此,，,，,即条件,(1),成立对任意的,，,，,考虑,，,则由于,，,故,又由于,故,所以,，,即,于是,条件,(2),成立反之,，,若 是 的子群,，,且条件,(1),和,(2),成立。
则,又对任意的,，,，,其中,，,，,则由条件,(2),，,，,所以,于是,同理可得,对任意的,，,有,而由条件,(1),，,表为 的形式是惟一的,，,故得,，,即 从而 是 和 的内直积例,4,设,则容,易验证,:,是 的子群令,则 和 是 的正规子群显然,，,且对,，有,所以由定义知 是 和 的内直积例,5,将 自然地看作 的子群,，,设,则 是 的正规子群显然,，,因此,从而,但是由于 不是 的正规子群,，,因此,不是 和 的内直积定理,2.4.5,如果群 是正规子群 和 的内直,积，,则,;,反之，,如果群 ，,则存在的正规子群 和 ，,且 与 同构,(=1,，,2),，,使得,是 与 的内直积证,如果群 是正规子群 和 的内直积定义,映射,则由于,，,故 是满射,又由定理,2.4.4,知 中,元表为 形式时表法惟一,，,故 是单射,又对任意的,由于 中的元与 中的元可,交换,，,故,所以,，,是同构映射,，,从而,如果,，,令,则容易验证 都是 的子群,，,且对任意的,这一表法是惟一的且对任意的,，,，,有,所以由定理,2.4.4,知 是 与 的内直积而,以及,分别为 到 和 到 的同构映射。
三、多个群的直积,定义,2.4.3,设 是有限多个群构造,并在 中定义运算,:,则 关于上述运算构成群，,称为群 的,外,直积定义,2.4.4,设 是群 的有限多个,正规子群如果 满足以下两个条件，我们就称 是,的,内直积,:,(1),(2),定理,2.4.6,如果群 是有限多个子群,的内直积，,则 同构于 的,外直积例,6,，,又由,定理,2.4.3,，,，,所以,，,我们有,:,同理,，,见定理,2.4.1(3),。