第六章 湍流模型第六章 湍流模型 湍流模型 湍流运动中动量与能量交换主要受大尺度 涡的影响 湍流的基本方程湍流的基本方程 无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和Navier- stokes方程对于瞬时运动仍然是使用的对不可压流动：方程对于瞬时运动仍然是使用的对不可压流动： =0 1 +=-+(grad) 1 +=-+(grad ) 1 +=-+(grad) up uvu tx vp vv ty wp wvw tz u u u u () (v ) () 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) 根据湍流统计平均理论，湍流的速度、压 强都可以分解为平均量和脉动量 ' iii uuu pp p 其中， , i u p为系综统计平均量，任意变量ф的时间平均值定义为 : 1 ( ) tt t t dt t , i u p为脉动量 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) 对N-S方程做系综平均 0 i i u x 遵循求导和系综平均可交换的原则，上式的线性 项可直接写出 : ii uu tt 2 1 () ii iji jijj uup uuf txxxx 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) 对非线性对流项 ()()(()())() () ijijji ijijijijij jjjj ij ij j uuuuuuuuu uu uu uu u xxxx u uu u x 将以上方程代入N-S方程的系综平均中: '2'''' '''2'' '''''2 =0 1 +=-+(grad )+[---] 1 +=-+(grad )[---] 1 +=-+(grad)[---] upuuvu w uvu txxyz vpuvvvw vvv tyxyz wpu wvww wvw tzxyz u u u u () () () 0 i i u x 2 1 ()() i iijiji jijji up uu uvu uf txxx xx () ijij Ru u 为雷诺应力项 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) 0 i i u tx 1 ()[()] i iijiji jijj up uuuu us txxxx ()[()] ji jj i j uus txxx RANS方程和原N-S方程在形式上很相似， 只是多了雷诺应力项（6个）。
这样，方程 只有4个，而变量有10个为封闭这个方程 组，人们提出了各种湍流模化方法将与时 均量u，p等联系起来 湍流的数值模拟方法简介湍流的数值模拟方法简介 湍流数值 模拟方法 湍流数值 模拟方法 直接数值模 拟（ 直接数值模 拟（DNS）） 非直接数值 模拟 非直接数值 模拟 大涡模拟 方法（ 大涡模拟 方法（LES）） Reynolds平均 法（ 平均 法（RANS）） 统计平均法统计平均法 Reynolds 应力模型应力模型 涡粘模型涡粘模型 ASM RSM 零方程模型零方程模型 一方程模型一方程模型 两方程模型两方程模型 两方程模型两方程模型：标准：标准k-e模型，模型，RNG k-e模型，模型，Realizable k-e模型等模型等 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型 涡粘模型的一般形式（布辛涅斯克假设涡粘模型的一般形式（布辛涅斯克假设 ） （类比于物理粘性） 其中， 为湍动粘度，k为湍动能 当i=j，当i≠1时， '' 2 ()() 3 j i ijtij ji u u uuk xx '' '2'2'2 1 () 22 ij uu Kuvw t 1, ij 0 ij 涡粘模型 依据确定的微分方程数目的多少，涡粘 模型包括： 零方程模型 一方程模型 两方程模型 t 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型 混合长度模型 混合长度lm由经验公式或实验确定； 直观简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层 等带有薄的剪切层的流动有效，对于复杂流动则 很难确定lm，且不能用于带有分离及回流的流动。
涡粘模型 单方程模型单方程模型单方程模型单方程模型 瞬态项瞬态项对流 项 对流 项 扩散 项 扩散 项 产生项产生项 耗散项耗散项 考虑到湍动的对流输运和扩散输运，比零方程模型更为合理； ——涡粘模型:标准k-ε模型 标准的标准的k-ε双方程双方程 令 2 k C t 该式依据的是脉动动量输运的物理机制（涡粘系数应 当正比于脉动速度和混合长度之积（类比：分子粘性 系数正比于分子自由程和分子热运动速度之积）） 湍动耗散率（turbulent dissipation rate） '' ()() ii kk uu xx 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:标准k-ε模型 标准的k-ε双方程 其中， k-ε分别通过他们的输运方程求出 湍动能的 生成项 湍动能的扩散项湍动能的 耗散项 2 ()( )( )1() 11 , 22 ikii kik kkkkkkkk ijij uu puukkkk u uu u txxxxxxxx ku uku u 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——标准k-ε模型 湍动能的生成项：由于平均速度梯度引起 的湍动能k的产生项 )( 2 1 i j j i ij x u x u S '' j kij i u Guu x 2 i ktij j u GS x 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——标准k-ε模型 湍动能的扩散项 [()] t iki k xx 2 ()1() k kkkk u pkk u xxxx 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:标准k-ε模型 由湍流脉动方程可以导出湍动能耗散方程如下 湍动能耗散的 生成项 湍动能耗散的扩 散项 湍动能的耗 散项 ' '2' ' '' ' ' '''' 2222 '' 22 jj iikiiiiik kk kkjjkikkjjkmm iik k kmmkmm uu uuuuuuuuu uu txxxxxxxxxxxxx uuup u xxxxxx 2'' 22 ii mkmk uu xxxx 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:标准k-ε模型 标准的k-ε双方程 其中，分别通过他们的输运方程求出 ()() [()] it kbMk ijkj kukk GGYS txxx , k 2 132 ()() [()]() it kb ijj u CGC GCS txxxkk ——涡粘模型:标准k-ε模型 标准标准k-ε模型模式常数模型模式常数 12 0.091.01.31.441.92 k ccc ——涡粘模型:标准k-ε模型 标准k-ε模型的控制方程组 注意：针对高注意：针对高Re数的湍流计算模型；计算各向异性大湍流有误差。
数的湍流计算模型；计算各向异性大湍流有误差 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:改进的k-ε模型 RNG k-ε模型模型 （（1）通过修正湍动粘度，考虑了平均流动中的旋转及旋 流流动情况 ）通过修正湍动粘度，考虑了平均流动中的旋转及旋 流流动情况 （（2）在）在ε方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变 率 方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变 率Eij，这样，模型中产生项不仅与流动情况有关，而且在 同一问题中也还是空间坐标的函数 从而， ，这样，模型中产生项不仅与流动情况有关，而且在 同一问题中也还是空间坐标的函数 从而， RNG k-ε模型可以更好地处理高应变率及流线弯 曲程度较大的流动 模型可以更好地处理高应变率及流线弯 曲程度较大的流动 需要注意的是，该模型仍是针对充分发展的湍流有效的， 即是 需要注意的是，该模型仍是针对充分发展的湍流有效的， 即是高高Re数的湍流计算模型数的湍流计算模型 RNG k-ε模型模型 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:改进的k-ε模型 Realizable k-ε 模型模型 （（1）湍动粘度计算公式发生了变化，引入了与旋转和曲率有关 的内容。
）湍动粘度计算公式发生了变化，引入了与旋转和曲率有关 的内容 （（2））ε方程发生了很大变化，方程中的产生项不再包含有方程发生了很大变化，方程中的产生项不再包含有k方 程中的产生项 方 程中的产生项Ck项，这样，更好的表示了光谱的能量转换项，这样，更好的表示了光谱的能量转换 （（3））ε方程的倒数第二项不具有任何奇异性，即使方程的倒数第二项不具有任何奇异性，即使k值很小， 分母也不会为零，这与标准 值很小， 分母也不会为零，这与标准k-ε 模型和模型和RNG k-ε模型有很大 的区别 模型有很大 的区别 已被有效应用于各种不同类型的流动模拟，包括旋转均匀剪切流、包 含有射流和混合流的自由流动、管道内流动、边界层，以及带有分离 的流动等 已被有效应用于各种不同类型的流动模拟，包括旋转均匀剪切流、包 含有射流和混合流的自由流动、管道内流动、边界层，以及带有分离 的流动等 Realizable k-ε 模型模型 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:非线性k-ε模型 将雷诺应力用以下代数式近似 3 '' 1 2 333 235 222 21 33 1 3 ijijijikjkmnmmij ijij ikjkmnmmijikjkjkikk k kk uukcSaS SSS SS kkk aaSSau tx 式中的k-ε通过解相应的输运方程获得。
通过解相应的输运方程获得 一、 “雷诺平均”模式（“雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型: k-ε模型壁面函数 壁面区可分为壁面区可分为3个子层个子层 粘性底层 粘性力在动量、热量及质量交换中起主导。