高中数学中点弦问题的解题方法 会泽县茚旺高级中学 杨顺武解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题中点弦”问题是一类很典型、很重要的问题.一、方法介绍（解圆锥曲线的中点弦问题的方法有）：第一种方法：联立消元法即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解第二种方法:点差法即设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量我们称这种代点作差的方法为“点差法”第三种方法：导数法即如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切（如下图）此时缩小的曲线方程如，，两边对求导，可发现并不改变原方程求导的结果因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是在中点处的值二、题型示例题型一 以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程解法一：设直线与椭圆的交点为、 为的中点 又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。
法二：由题意知所求中点弦斜率一定存在，设为，则该弦方程为消去得例2.已知双曲线方程，求以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点B（1，1），能否作直线，使与所给双曲线交于P、Q两点，且点B是弦PQ的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由解：对两边求导，得（1）以A（2，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为（2）以B（1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为即但与双曲线方程联立消去y得，无实根因此直线与双曲线无交点，所以满足条件的直线不存在注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点例3．已知直线与抛物线交于A，B两点，那么线段AB的中点的坐标为 ．解析：设，由得，从而，因此，线段AB的中点的坐标为．例4.过圆内一点引一条弦，使弦被平分，求这条弦所在的直线方程题型二 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例5.已知椭圆C：，直线过点P（1,1）交椭圆C于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程分析：此题涉及到弦AB的中点坐标，且弦的斜率等于MP的斜率故采用“点差法”。
解：设，则∵点P在椭圆内部，直线与椭圆恒有两个交点，∴点M的轨迹方程为：题型三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6.已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，， 这就是弦中点轨迹方程它与直线的交点必须在椭圆内联立，得 则必须满足，即，解得题型四、证明定值问题例7.已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.证明 设且，则，（1），（2）得：，，.又，，（定值）.题型五、求参数的取值范围例8.如图，在中，，椭圆C：，以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点K满足，问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N且，若存在，求出直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由xyDEFO解：（Ⅰ）略； ，（Ⅱ）分析：∵，设MN的中点为H，则，此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差法”设，直线的斜率为（，则① ② 由①－②得： 又∵，则，∴，从而解得，点在椭圆内，则且作者简介：杨顺武，男，1969年2月出生，会泽待补人，中学高级教师，国家数学奥林匹克二级教练员。
92年7月毕业于曲靖师范专科学校数学系数学专业，本科学历，党员论文《数学复习中的纠错策略》荣获省级一等奖《数学解题中的几种常见错误》荣获省级一等奖《圆锥曲线中的四心》荣获省级二等奖以上三篇论文的授奖单位均为云南省教育科学院；《培养学生直觉思维能力的策略》荣获《云南和谐教育论文》评优竞赛二等奖《谈高考数学规范化解题》荣获《云南和谐教育论文》评优竞赛一等奖论文《谈高考数学规范化解题》发表在《云南省教育教学论文精选》一书中论文《球的切接问题的解题方法》发表在考试指南报2013年第332期第6版上教育教学中努力做到了自我教育，自我约束，主动研究，自我提高，完善自我做到处处关心爱护学生，和学生建立“忘年交”，与他们做心心相印的朋友，建立了美好和谐的师生感情作业人员在生产作业时必须按规定穿符合生产作业要求的工作服，袖口与腰带必须牢牢扎紧，不得穿破损工作服，以免在机器运行或设备旋转时受到伤害第 5 页 共 5 页。