物理奧林匹亞競賽試題與解答

物理奧林匹亞競賽試題與解答文／林明瑞本刊徵得物理奧林匹亞國家代表隊選訓小組的同意，每期精選若干試題和解答，以饗讀者本期刊登二道有關「水面上的波動」試題本期試題評註】：水波的傳播是生活上常見的現象，但細究起來卻不簡單向水裡丟一塊小石頭，即可看到漣漪在水面上散播，但它們的運動如何分析呢？在水面上傳播的波動同時受有地球重力和表面張力的作用，看起來複雜，但本期試題的敘述和解答利用基礎的物理定律，簡單的數學（僅略及微積分） ，深入淺出的分析，卻讓其中的道理清楚地浮現出來！在水面上傳播的重力波和毛細（表面張力）波在水面上傳播的重力波和毛細（表面張力）波一、 如下圖所示，當水波以速度v在水面上傳播時，由於水極難壓縮，因此當水波通過時，水分子不能僅在原處作鉛直方向的上下振動，它也必須作水平方向的前後振動，而且這兩個振動的週期必須相等，才能維持一定的波動形狀假設水波的振幅遠小於水深，且水分子的橫向振動（沿鉛直方向，和波速方向垂直）和縱向振動（沿水平方向，和波速方向平行）皆為簡諧振動，僅考慮重力對水波的影響，回答下列問題：(a) 證明水分子作圓周運動提示】：假設一觀察者以與波速相同的速度運動，則此觀察者將可見到一靜止在水面上的波形，利用白努利方程式 常數，可求出在波gyvp2 21形上特別點的水分子運動速率之間的關係式。

b)證明水波在水面上的傳播速率，式中 λ 為水波的波長 2gv 解：(a) 參考下圖，A、B、和 C 分別為水面上波峰、波速v波峰波谷當波通過時，水分 子作圓周運動水平面a a波谷、和平衡點的位置從設於地面的參考座標系來看，在 A 和 B 兩點的水分子僅有水平方向的速度分量，其鉛直方向的速度分量為xv0零；在 C 點則僅有鉛直方向的分量，其水yv0平方向的速度分量為零，故水分子的縱向振動和橫向振動之間的相位角相差 90o假設一觀察者以與波速 v 相同的速度運動，則此觀察者將可見到一靜止在水面上的波形從觀察者的參考座標系來看，水質點順著波形由右向左流動，A、B、和 C 三點的速度分別為(1)vvvxA0(2))(0vvvxB(3)22 0vvvyC式中和分別為水分子在縱向和橫向振動的最大速率取水平面為重力位能的零點，利用白xv0yv0努利方程式可得(4)021 21 21222CBAvpgavpgavp得(5)gavvAB422(6)gavvBC222由(5)和(6)兩式可得(7)2422222 22ABAB BCvvvvvv   將(1)、(2)、和(3)三式代入(7)式，可得(8)yxvv00水分子的縱向和橫向振動的軌跡方程式可寫為(9)txxsin0(10)tatyycos)2sin(0由(9)和(10)兩式可得，水分子在縱向和橫向振動的最大速率為，(11)00xvxayvy00波速v波峰 A波谷 B水平面平衡點 Cxy由(8)和(11)兩式得，故水分子的運動軌跡為圓形，。

ayx00222ayx(b)由(1)、(2)、和(5)三式可得 gavvvvxx4)()(2 02 0(12)gavvx0因為，以之代入上式，得vaavvyx200 2gv 二、 承上題，加計液體表面張力對波速的影響考慮一正在液面上傳播的正弦波，如下圖所示，其在某一時刻，P 點的位移 y 可寫為xakxay2sinsin式中a為振幅，為起始時的相位角設液體的密度為，表面張力為T，且振幅，回答下列問題：a(a) 在 P 點處，若僅考慮重力的作用，則由於波動而增加的靜液壓力為何？(b) 在 P 點處，由於表面張力的作用而增加的壓力為何？(c) 合計上述兩小題(a)和(b)的作用，在 P 點處所受的總壓力為何？(d) 證明若加計液體表面張力的影響，則前題中液體波動在液面上的傳播速率應修正為 Tgv2 2解：0NP),(yxQxy(a)若僅考慮重力的作用，則由於波動而增加的靜液壓力為gyp1(b) 由於表面張力的作用，在 Q 點處的弧形液面上，所受沿法線方向的壓力為N（沿的方向）   21211 RRTpN式中R1和R2分別為在 Q 點處，平行和垂直於紙面的液體弧面的曲率半徑。

由於液面上的波形類似圓柱面（即直線波） ，故，2R得因此在 Q 點處沿鉛直方向所造12RTp 成的壓力為（方向鉛直向下）coscos122RTppy(c) 合計上述兩小題(a)和(b)的作用，在 P 點處所受的總壓力為cos121RTgypppy由於題設，故甚小，故，上式可寫為a1cos1RTgyp曲率半徑可用下式求得：2/3222111   dxdyxdydR由於，其值甚小，故上式可近似為 tandxdyydxyd R2222141 ygyTgyTgyp   222244式中為等效重力加速度224 Tgg(d) 利用前題的結果，液體波動在液面上的傳播速率應修正為    TgTggv2 24 2222    【註一】：由上式可知，當值很小或很大時，波速v趨近於無限大，因此v存在有極小值當 v 極小時，，所對應的值為，稱為臨界波長，則0ddvc212 22 Tg ddvvTgc2241  gT c24/1min4 222 2       TggggTgvccccc情況一：若，即長波長，則，故。

波速主要決定於重力的作用，稱為重e Tg2 2 2gv 力波（gravity wave） 情況二：若，即短波長，則，故波速主要決定於液體表面張力的作e Tg2 2Tv2用，稱為毛細波（capillary wave） 註二】：設波動的頻率為f，則，得fvfTg 2 2 gfT2 22 24上式表示：若能測得在液面上傳播的波動的波長和頻率，以及液體密度，則可藉以計算液體的表面張力註三】：曲面液體的表面張力和壓力之間的關係式：參考下圖，考慮靜力平衡關係可得2sin22sin22 111 222211RTRTRRP    2111 RRTP作者簡介作者簡介林明瑞，美國韋恩州立大學博士，現任職國立台灣師範大學物理系，研究領域主要為超聲波物理，E-mail: mjlin@phy.ntnu.edu.tw1R1 R1R22TTP22R11R。