熊老师初中数学教育工作室- 1 -初中几何中线段和（差）的最值问题初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值一、两条线段和的最小值 基本图形解析基本图形解析： 一）已知两个定点：一）已知两个定点： 1 1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小； （1）点 A、B 在直线 m 两侧：（2）点 A、B 在直线同侧：A、A’ 是关于直线 m 的对称点 2 2、、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小 （1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：PmABmABmAB PmABA'nmABQPnmABP'Q'nmAB QPnmABB'QPnm ABB'A'nm AB熊老师初中数学教育工作室- 2 -（4）台球两次碰壁模型 变式一：已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________ 变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短.二）一个动点，一个定点：二）一个动点，一个定点： （一）动点动点在直线上运动： 点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动 点 B 在⊙O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B） 1、点与圆在直线两侧：mnAPmnABmnAPmnAA'BmOAP'PmOBAB'mnA BEDmnA BA'B'mnAPQmnAA“A'熊老师初中数学教育工作室- 3 -2、点与圆在直线同侧：（三）（三）已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。
原理用平移知识解) （1）点 A、B 在直线 m 两侧：过 A 点作 AC∥m,且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 长，即为 P 点，此时 P、Q 即 为所求的点 （2）点 A、B 在直线 m 同侧：二、求两线段差的最大值问题二、求两线段差的最大值问题 ( (运用三角形两边之差小于第三边) ) 基本图形解析基本图形解析： 1 1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA 与 PB 的差最大； （1）点 A、B 在直线 m 同侧：解析：延长 AB 交直线 m 于点 P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而 PA—PB=AB 此时 最大，因此点 P 为所求的点 （2）点 A、B 在直线 m 异侧：解析：过 B 作关于直线 m 的对称点 B’,连接 AB’交点直线 m 于 P,此时 PB=PB’ ，PA-PB 最大值为 AB’mOAPmOABA'mA BB'EQPmA BQPmABQPmABCQPmBAmABmABB'PP'mBAP'P。