题型一折叠问题,压轴点二几何压轴题,典例解构,1,突破训练,2,例,2024,辽宁省一模第,22,题,12,分,如图，在矩形,ABCD,中，,AB,=2,，,BC,=2,，点,E,为射线,BA,上一点,(,点,E,不与点,B,重合,),，将,BCE,沿,EC,折叠，得到,FCE,，点,P,为线段,FC,上一点，再将,EFP,沿,EP,折叠，得到,EGP,，,PG,的延长线与边,BC,相交于点,Q,典例解构,1,原题设问,设问拆分,要点提炼,（,1,）如图,1,，连接,EQ,，求证：,QB,=,QG,.,（图,1,）,（1）,a.,求证：,BE=GE,，,EGP,=90；,b.,求证：,QB=QG,.,知识必备,将,ABC,沿,AC,折 叠 后 得 到,ADC.,结论,：,ABC,ADC,.,“原题设问”答案略，“设问拆分”答案如下：,(1),证明：,a.,四边形,ABCD,是矩形，,B,90,，,由折叠知,EG,EF,EB,，,EGP,F,B,90,，,b,EGP,90,，,EGQ,180,EGP,90,，,在,Rt,EBQ,和,Rt,EGQ,中，,EQ,EQ,，,EG,EB,，,Rt,EBQ,Rt,EGQ,(HL),，,QB,QG,；,（,2,）如图,2,，当点,E,与点,A,重合时，若 点,G,落 在 边,AD,上，连 接,BF,，,EC,与,BF,相交于点,M,，与,PQ,相交于点,N,，求,MN,的长,（图,2,）,（,2,）,a.,求,ACB,的度数和,CM,的长；,b.,求,CQ,的长；,c.,求,MN,的长,.,知识必备,1.,将,ABC,沿,AC,折叠后得到,ADC,，连接,BD,.,结论,：,AC,垂直平分,BD,.,2.,已知,AB,，,BC,的长，求,CM,的长,.,两种常用思路,：,(1),利用锐角三角函数,:cos,C,=,=,；,(2),利用,CBM,CAB,（,3,）若点,G,落在边,AD,上，且,BQ,=322,，,CE,所在直线与,AD,所在直线相交于点,H,如图,3,，当点,E,段,BA,延长线上时，求,HG,的长；,（,3,）过点,G,作,GR,BC,于点,R,.,a.,求,QG,，,QR,和,AG,的长；,b.,设,AE,=,x,，,用含,x,的式子表示,EG,，,并求,x,的值；,c.,求,AH,和,HG,的长,.,模型抽离,条件,：,AH,BC,结论,：,EAH,EBC,当点,E,段,AB,上时，请直接写出,HG,的长,过点,G,作,GR,BC,，垂足为,R,，,a.,求,QG,，,QR,和,AG,的长；,b.,设,AE,=,x,，用含,x,的式子表示,EG,，并求,x,的值；,c.,求,AH,和,HG,的长,.,模型抽离,条件,：,AH,BC,结论,：,EAH,EBC,知识必备,利用同一未知数表示出直角三角形的三条边长，利用勾股定理列方程,.,1.【,原创题,】,在,菱,形,ABCD,中，,AB,=8,，,BAD,=,120,，,E,，,F,分别是边,AB,，,BC,上的点，沿直线,EF,折叠,BEF,，点,B,的对应点为,B,，连接,AC,，,BD,，相交于点,O,.,(1),如,图,1,，当,点,B,与点,O,重合时，求证：,BEO,BFO,；,突破训练,2,证明：由折叠的性质得，,EOB,EBO,，,FOB,FBO,，,四边形,ABCD,是菱形，,EBO,FBO,，,EOB,FOB,.,又,BO,BO,，,BEO,BFO,(ASA),；,(2),如图,2,，当点,B,落在,AC,上，且,B,C,=3,AB,时，求,CF,的长；,解：如解图,1,，过点,F,作,FH,AC,于点,H,，,四边形,ABCD,是菱形，,AB,BC,8,，,AD,BC,，,又,BAD,120,，,ABC,180,BAD,60,，,ABC,是等边三角形,ACB,60,，,AC,AB,8.,B,C,3,AB,，,CB,6.,(3),如图,3,，若点,B,落在,AD,上,.,当,B,E,AC,时，求,四,边,形,B,FCD,的面积；,当,B,为,AD,的,中点,时，求,cos,BFE,的值,.,2.2023,沈阳改编,如图,1,，在,ABCD,纸片中，,AB,=10,，,AD,=6,，,DAB,=60,，点,E,为,BC,边,上,的,一点,(,点,E,不,与点,C,重合,),，连,接,AE,，将,ABCD,纸片沿,AE,所在直线折叠，点,C,，,D,的对应点分别为,C,，,D,，射线,C,E,与射线,AD,交于点,F,(1),求证：,AF,=,EF,；,证明：四边形,ABCD,是平行四边形，,AD,BC,，,FAE,AEC,180,，,由折叠的性质可知，,AEC,AEC,，,FAE,AEC,180,，,AEF,AEC,180,，,FAE,AEF,，,AF,EF,；,(2),如图,2,，当,EF,AF,时，求,DF,的长；,(3),如图,3,，当,CE,=2,时,求,AE,的长；,求,AEF,的面积,.,3.2024,盘锦市兴隆台区二模,实践操作：在矩形纸片,ABCD,中，,AB,=4,，,AD,=3,，现将纸片折叠，点,D,的对应点记为点,P,，折痕为,EF,(,点,E,，,F,为折痕与矩形的边的交点,),，再将纸片还原,.,初步思考：,(1),若点,P,落在矩形,ABCD,的边,AB,上,(,如图,1),当点,P,与点,A,重合时，,DEF,=_,，当点,E,与点,A,重合时，,DEF,=_,；,90,45,点,拨,：,深入探究：,(2),当点,E,在,AB,上，点,F,在,DC,上时,(,如图,2),，,求证：四边形,DEPF,为菱形；,证明：由折叠的性质，得,DE,PE,，,DF,PF,，,EF,DP,，,FDP,FPD,.,四边形,ABCD,是矩形，,CD,AB,，,FDP,EPD,.,FPD,EPD,.,EF,DP,，根据等角的余角相等可得,PEF,PFE,.,PE,PF,.,DE,PE,PF,DF,.,四边形,DEPF,为菱形；,当,AP,=7,2,时，直接写出四边形,EPFD,的边长,拓展延伸：,(3),若点,F,与点,C,重合，点,E,在,AD,上，射线,BA,与射线,FP,交于点,M,(,如图,3),在折叠过程中，是否存在使得线段,AM,与线段,DE,的长度相等的情况？若存在，请求出线段,AE,的长度；若不存在，请说明理由,.,解：存在，分两种情况讨论：,如解图,3,，当点,M,段,AB,上时，,连接,EM,，,由折叠和矩形的性质得,EPM,EDC,90,，,DE,PE,，,CP,CD,AB,4,，,AM,DE,，,AM,EP,.,又,EM,ME,，,A,90,，,Rt,EAM,Rt,MPE,(HL),MP,AE,.,设,AE,x,则,AM,DE,3,x,则,BM,AB,AM,4,(3,x,),x,1,，,MP,EA,x,，,CP,4,，,MC,4,x,，,题型二 旋转问题（,2024,真题,.22,）,压轴点二 几何压轴题,典例解构,1,突破训练,2,典例解构,1,例,2024,辽宁真题第,22,题,12,分,如图，在,ABC,中，,ABC,=9 0,，,ACB,=,（,0,45,）将线段,CA,绕点,C,顺时针旋转,90,得到线段,CD,，过点,D,作,DE,BC,，垂足为,E,原题设问,(1),如图,1,，,求证,：,ABC,CED,.,设问拆分,(1)a.,求证,：,A,=,DCE,；,证明：,线段,CA,绕点,C,顺时针旋转,90,得到线段,CD,，,ACD,90.,ACB,DCE,90.,ABC,90,，,A,ACB,90,，,A,DCE,；,b.,求证,：,ABC,CED,；,证明：,ABC,90,，,DE,BC,，,ABC,CED,90.,由旋转的性质，得,AC,CD,，,由,a,得,A,DCE,，,ABC,CED,(AAS),；,要点提炼,模型,异侧一线三垂直模型,(,全等,),条件,：,ACD,=90,，,AB,BC,，,DE,BC,，,AC,=,DC,结论,：,ABC,CED,原题设问,(2),如图,2,，,ACD,的平分线与,AB,的延长线相交于点,F,，连接,DF,，,DF,的延长线与,CB,的延长线相交于点,P,，猜想,PC,与,PD,的数量关系，并加以证明,.,设问拆分,(2)a.,求证,：,ACF,DCF,；,证明：,CF,是,ACD,的平分线，,ACF,DCF,.,CF,CF,，,AC,DC,，,ACF,DCF,(SAS),；,b.,猜想,PC,与,PD,的数量关系，并加以证明,.,解：,PC,PD,.,证明：,ACF,DCF,，,A,CDF,，,由,(1)a,得,A,DCE,，,DCE,CDF,.,PC,PD,；,要点提炼,模型抽离,对称型全等模型,知识必备,证明两条线段相等的常用方法：,1.,若两条线段在同一个三角形中，常利用等角证等腰，其中证等角时常需要借助第三个角度，如本题中的,A,；,2.,若两条线段不在同一个三角形中，常利用三角形全等证明,原题设问,(3),如图,3,，在,(2),的条件下，将,BFP,沿,AF,折叠，在,变化过程中，当点,P,落在点,E,的位置时，连接,EF,.,求证,：点,F,是,PD,的中点；,设问拆分,(3),a.,求证：,BF,DE,；,证明：,DE,BC,，,AF,PE,，,BF,DE,；,b.,求证：点,F,是,PD,的中点；,证明：由折叠的性质得,PB,EB,，,BF,DE,，,PF,DF,，即点,F,是,PD,的中点；,要点提炼,图形抽离,知识必备,1.,折叠的性质：对应线段,相等；,2.,垂直于同一条直线的两条直线平行；,3.,平行线分线段成比例定理,原题设问,若,CD,=20,，求,CEF,的面积,设问拆分,设,CE,=,m,，,DE,=,n,.,a.,用含,m,，,n,的式子表示,BE,和,PC,；,解：,ABC,CED,，,BC,DE,n,，,BE,BC,CE,n,m,.,BE,BP,，,PC,CE,2,BE,m,2(,n,m,),2,n,m,；,b.,用含,m,，,n,的式子表示,AF,和,PD,；,(,要求：利用,AF,表示,PD,，结论不能与,PC,所表达的式子相同,);,c.,利用,PC,和,PD,之间的关系求,m,和,n,之间的关系；,d.,求,m,和,n,的值；,解：,PC,PD,，,2,n,m,2,m,n,.,n,3,m,.,e.,求,CEF,的面积,要点提炼,图形抽离,结论：,AB,=,CE,，,BC,=,ED,；,BE,=,BC,-,CE,=,ED,-,CE,，,PC,=,CE,+2,BE,；,BF,=,DE,；,ACF,DCF,；,AF,=,DF,=,PD,1.,如图，在正方形,ABCD,中，点,E,段,AD,上，点,F,段,CD,上，且始终满足,AE,=,CF,，连接,BE,，,BF,，将线段,BE,绕点,E,逆时针旋转一定角度，得到线段,EG,(,点,G,是点,B,旋转后的对应点,),，并使点,G,落在,线段,BC,上，,EG,与,BF,交于点,H,突破训练,2,(1),判断线段,EG,与,BF,的数量关系和位置关系，并说明理由；,解：,EG,BF,，,EG,BF,；理由：,四边形,ABCD,是正方形，,A,C,ABC,90,，,AB,CB,，,AE,CF,，,ABE,CBF,(SAS),，,BE,BF,，,ABE,CBF,.,由旋转的性质，得,BE,EG,，,EG,BF,，,EBG,EGB,.,ABE,EBG,ABC,90,，,CBF,EGB,90,，,BHG,90,，即,EG,BF,.,(2),如图,2,，再将线段,EG,绕点,E,逆时针旋转,90,，得到线段,EM,(,点,M,是点,G,旋转后的对应点,),，连接,FM,，请判断四边形,BEMF,的形状，并说明理由；,解：,四边形,BEMF,为菱形，理由如下：,由旋转得,EG,EM,，,。