二次函数综合复习专题一 二次函数的定义形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项例1.如果函数是二次函数,则k的值是______变式练习1.若y=(m-1)xm2+1是二次函数，则m的值为 2.函数y=a-5xa2+4a+5+2x-1, 当_______时, 它是一次函数; 当_______时, 它是二次函数3.当m为何值时，y=(m+1)xm2-3m-2是二次函数专题二 确定二次函数解析式1. 一般式：y=ax2+bx+c 已经抛物线任意三点求解析式2. 顶点式：y=a(x-h)2+k 已知抛物线顶点和一点或已知对称轴和另外两点求解析式3. 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 已知抛物线与x轴的两交点和另一点1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0),x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
例1：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解例2：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式例3：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式②典型例题二：告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式例4：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出例5：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．3.利用二次函数图象求二次函数的解析式此类问题，需抓住图像给的关键信息，如对称轴，顶点，交点等，根据给定的信息，选择适当的二次函数解析式求解。
1．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c如图所示，则此抛物线的解析式为 ． (第1题) (第2题) (第3题)2．如图所示，有一个抛物线形拱桥，其最大高度为10 m，跨度为50 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，则抛物线的函数解析式为 ．3．如图所示，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.求该抛物线的解析式．变式练习1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ ）（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-142.已知抛物线在x轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为（2,3）求解析式？ 4.若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为________． 专题三 二次函数图象变换一、 二次函数与平移解决二次函数的平移问题时，一般要先将函数解析式化成顶点式，再按“左加右减，上加下减”的方法进行求解。
经典例题1．下列二次函数的图象，不能通过函数y＝3x2的图象平移得到的是( )A．y＝3x2＋2 B．y＝3(x－1)2 C．y＝3(x－1)2＋2 D．y＝2x22．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位3．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是( )A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－14．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上(下)或向左(右)平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．65．如图，一条抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线C—D—E上移动，若点C，D，E的坐标分别为(－1，4)，(3，4)，(3，1)，点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．6 （第3题） （第5题）6．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝－x2＋1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是 ．7．已知二次函数y＝3x2的图象不动，把x轴向上平移2个单位长度，那么在新的坐标系下此抛物线的解析式是 ．8．在平面直角坐标系中，平移抛物线y＝－x2＋2x－8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式： ．9．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为____二、二次函数与轴对称解决这类问题时，可根据原图象与对称后的图像特点，确定新的二次函数各项系数。
经典例题1．与抛物线y＝x2－2x－3关于x轴对称的图象解析式为( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2－2x＋3 C．y＝－x2＋2x－3 D．y＝－x2＋2x＋32．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2 C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2＋x＋23．在一张纸上作出函数y＝x2－2x＋3的图象，沿x轴把这张纸对折，描出与抛物线y＝x2－2x＋3关于x轴对称的抛物线，则描出的这条抛物线的解析式为 .三、抛物线与旋转1．将二次函数y＝x2－2x＋1的图象绕它的顶点A旋转180°，则旋转后的抛物线的函数解析式为( )A．y＝－x2＋2x＋1 B．y＝－x2－2x＋1 C．y＝－x2＋2x－1 D．y＝x2＋2x＋12．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )A．y＝－(x＋1)2＋2 B．y＝－(x－1)2＋4 C．y＝－(x－1)2＋2 D．y＝－(x＋1)2＋43．把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 ．4．抛物线y＝(x－1)2－5先向左、向上均平移2个单位后，再绕顶点旋转180°，得到新的图象对应的函数表达式为 ．专题三 二次函数图象与系数a,b,c之间的关系1、二次项系数a：①a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下。
②a的绝对值越大，开口越小;a的绝对值越小，开口越大2、一次项系数b：在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴，“左同右异”3、常数项c：决定抛物线与y轴交点的位置4、抛物线的特殊位置与系数的关系：（1）顶点在x轴上：b²-4ac=0；（2）顶点在y轴上：b=0；（3）顶点在原点：b=c=0；（4）抛物线经过原点：c=0.例1.已知y=ax2+bx+c的图象如下，则：a____0 , b___0, c___0 , a+b+c____0，a-b+c__0, 2a-b____0 b2-4ac___0, 4a+2b+c 0例2．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 3－2，现有下列结论：①b2－4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c＞0；⑤9a＋3b＋c＜0，⑥8a+c>0；⑦3a+c<0则其中结论正确的是( ) (例2) (例3) 例3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M，N，P中，值小于0的数有( )A．3个 B．2个 C．1个 D．0个变式练习1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4所示，给出以下结论：①abc<0 ②当x=1时，函数有最大值。
③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0. ④4a+2b+c<0其中正确结论的个数是（ ）y0 11x-1A.1 B.2 C.3 D.4-1Ox=1yx（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②b0；④b2-4ac>0；。