第第4 4章章 线性动态电路的分析线性动态电路的分析lξ4-1ξ4-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件lξ4-2 ξ4-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应lξ4-3 ξ4-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应lξ4-4 ξ4-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 ξ4-1 ξ4-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件一、基本概念一、基本概念㈠㈠ 稳态：稳态：电路的稳定状态，即电路中的电压电流达到稳定值时电路的稳定状态，即电路中的电压电流达到稳定值时的状态比如前的状态比如前2 2章介绍的直流电路，全部为稳态电路的情况章介绍的直流电路，全部为稳态电路的情况 上图中，在开关上图中，在开关K K闭合后的一段时间内，电流闭合后的一段时间内，电流 i i 和电压和电压u uc c并不为稳定值，而是有一个开关并不为稳定值，而是有一个开关K K闭合后渐变的过程当时间闭合后渐变的过程当时间t→∞t→∞时，电流时，电流 i i 和电压和电压u uc c才达到稳定值，不再变化，此时，才达到稳定值，不再变化，此时，电路才进入稳态。
为什么呢？就是因为电路中存在一个电容元电路才进入稳态为什么呢？就是因为电路中存在一个电容元件件C C那么，如果电路中有电感元件时又怎样呢？那么，如果电路中有电感元件时又怎样呢？ 开关开关K K从闭合时起，电路中的电压电流就为稳定值，也就是说电路从闭合时起，电路中的电压电流就为稳定值，也就是说电路达到了稳态如果电路中含有储能元件，比如有达到了稳态如果电路中含有储能元件，比如有LCLC，，就不同了：就不同了： ㈡暂态（过渡过程）：㈡暂态（过渡过程）：当电路中当电路中含有储能元件含有储能元件时，在开关动作时，在开关动作后，电路中的变量尚未达到稳定状态，在这段时间内，电路变后，电路中的变量尚未达到稳定状态，在这段时间内，电路变量随时间变化的响应称为电路的过渡过程，也即电路处于暂态量随时间变化的响应称为电路的过渡过程，也即电路处于暂态1 1、两个储能元件、两个储能元件————能引起过渡过程的两个电路元件能引起过渡过程的两个电路元件C C和和L L 电容能够存储电场能量，因为电荷的积累需要一个时间过程，电容能够存储电场能量，因为电荷的积累需要一个时间过程，所以电压要慢慢上升，储存的能量也随着电容电压的增加慢慢所以电压要慢慢上升，储存的能量也随着电容电压的增加慢慢积累，最后达到稳定值（积累，最后达到稳定值（ t→∞t→∞时）时） 。
电感能存储磁场能量，在建立磁通链的过程中，磁场能量的电感能存储磁场能量，在建立磁通链的过程中，磁场能量的储存也需要一个过程，因此，电流也只能慢慢增加，最后达到稳储存也需要一个过程，因此，电流也只能慢慢增加，最后达到稳定值（定值（ t→∞t→∞时）时） ·换路定则换路定则u换路：指电路中的开关作用、参数变化等换路：指电路中的开关作用、参数变化等t = 0-换路前一瞬间换路前一瞬间, t = 0+换路后一瞬间换路后一瞬间,能量不能突变，只能连续变化能量不能突变，只能连续变化 WC=1/2CuC2uC连续变化连续变化uC(0+)= uC(0- -) WL=1/2LiL2 iL连续变化连续变化 iL(0+)=iL(0- -) 换路定则换路定则二、电路的初始条件二、电路的初始条件 何谓初始条件？就是换路后电路中各变量（电压、电流）何谓初始条件？就是换路后电路中各变量（电压、电流）的起始值，也即的起始值，也即t=0+t=0+时刻各电压电流的值这也是一阶动态电时刻各电压电流的值这也是一阶动态电路过渡过程三个要素中的第一个要素路过渡过程三个要素中的第一个要素。
初始值的计算初始值的计算lt = 0+电压、电流值称为初始值电压、电流值称为初始值 l初始值初始值 计算步骤计算步骤l用换路定律确定用换路定律确定 uC(0+), i L(0+)；；l用初态等效电路确定其它变量的初始值用初态等效电路确定其它变量的初始值电容的初态等效电路电容的初态等效电路短短路路电感的初态等效电路电感的初态等效电路开开路路 l求初始条件的步骤：求初始条件的步骤：①①用换路定理先求独立初始条件用换路定理先求独立初始条件u u C C (0 (0+ +) ) 和和i i L L (0 (0+ +) ) ②②画画0+0+等效电路等效电路Ø开关开关K K，，t t = 0+ = 0+时已动作，应画动作以后的状态时已动作，应画动作以后的状态 ；；Ø对于电感对于电感L L 可用电流源替代：可用电流源替代： ；Ø对于电容对于电容C C 可用电压源替代可用电压源替代 ：：Ø其他支路及元件，保持不变其他支路及元件，保持不变③③在在0+0+等效电路上用等效电路上用KCLKCL、、KVLKVL求非独立初始条件。
求非独立初始条件看几个例题： 例题一例题一如图所示电路原处于稳态，如图所示电路原处于稳态，t=0t=0时开关时开关S S突然打开则突然打开则 u uL L(0(0+ +)=_____V)=_____V 由初态等效电路可知：由初态等效电路可知： +- -3V1 2 3H+- -uLS+- -3V1 2 +- -uL(0+)3A- - 6 例题二例题二如图所示电路原处于稳态，如图所示电路原处于稳态，t=0t=0时开关时开关S S合上则 u u(0+)=_____V(0+)=_____V 由初态等效电路可知：由初态等效电路可知： 2 2+- -9V3 4 2H+- -u2 +- -6VS+- -6V4 +- -u(0+)1A3 如图所示电路原处于稳态，如图所示电路原处于稳态，t=0 t=0 时开关时开关 S S 合上则 i i(0+)=_____A(0+)=_____A 由初态等效电路可知：由初态等效电路可知： 2 2+- -60V5 1Hi10 1F1FS4A+- -10V+- -10V初态等效电路初态等效电路 例题三例题三 l求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前电路处于稳态。
电路处于稳态解：解： ⑴⑴作作ｔ＝ｔ＝0 0 - -时的等效电路时的等效电路⑵⑵ｕｕC C(0 0＋＋)＝＝ｕｕC C(0 0- -)＝＝4ＶＶ ｉ ｉL L(0 0＋＋)＝＝ｉｉL L(0 0- -)＝＝1ＡＡ 例题四例题四 l求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前电路求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前电路处于稳态处于稳态解：解： ⑶⑶作ｔ＝作ｔ＝0＋＋时的等效电路时的等效电路 4V1A代入数据得：代入数据得： 解之得解之得 例题五例题五 4-2 4-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应l一、一、RCRC电路的零输入响应电路的零输入响应l1 1、求零输入响应、求零输入响应一阶电路：一阶电路：描述电路响应过程的方程为一阶线性微分方程的描述电路响应过程的方程为一阶线性微分方程的电路一般情况下，含有一个储能元件的线性电路通常就是电路一般情况下，含有一个储能元件的线性电路通常就是一阶电路一阶电路零输入响应：零输入响应：顾名思义，就是电路在没有输入激励情况下的响顾名思义，就是电路在没有输入激励情况下的响应由于没有输入激励，所以是靠储能元件的初始储能建立起应。
由于没有输入激励，所以是靠储能元件的初始储能建立起来的过渡过程响应也即：来的过渡过程响应也即：换路前电路中储能元件有初始储能，换路前电路中储能元件有初始储能，换路后电路没有电源激励输入，仅靠储能元件的储能建立的过换路后电路没有电源激励输入，仅靠储能元件的储能建立的过渡过程响应渡过程响应请看下图电路，已知：请看下图电路，已知：t= 0－－时，时，uc(0－－)=Uo (V)，，求；求；t≥0时时的的uc(t)表达式 解：有解：有KVL定律可得：定律可得： （1） 有元件约束方程得：有元件约束方程得：代入上式（代入上式（1）得：）得：初始条件：初始条件：(2) )()(dtduCtitiRuCR-==此方程为一阶、线性、常系数、齐次微分方程此方程为一阶、线性、常系数、齐次微分方程 分析此方程可知，分析此方程可知，uc (t)应有指数函数形式，设：应有指数函数形式，设：代入方程（代入方程（3）可得对应微分方程的）可得对应微分方程的特性方程特性方程：：有表达式（有表达式（5）、（）、（6）和波形图可看出：）和波形图可看出：式（式（5 5）可作为零输入响应的公）可作为零输入响应的公式来直接套用。
再看波形图：式来直接套用再看波形图： l2、时间常数τ再看表达式（再看表达式（5）：）：两边均为电压量纲，指数项应该无量纲由此可见，两边均为电压量纲，指数项应该无量纲由此可见，RC的乘的乘积应该和时间积应该和时间t有相同的量纲有相同的量纲“秒秒” 同时RC的大小，也反映的大小，也反映了衰减得快慢，由此可定义一个新的物理量了衰减得快慢，由此可定义一个新的物理量——时间常数时间常数τ ②② τ的物理意义：的物理意义： τ的大小反映了过渡过程进展的快慢的大小反映了过渡过程进展的快慢在表达式（在表达式（5）中，将时间）中，将时间 t =1τ、、2 τ、、3 τ、、4 τ、、5 τ时的时的电压电压uc (t)列表如下：列表如下： RC电路的零输入响应电路的零输入响应时间常数为：时间常数为：RCRC一阶电路的零输入响应的一般形式一阶电路的零输入响应的一般形式可记为可记为 例例: 1 图示电路中图示电路中,S合上前电路已处于稳态合上前电路已处于稳态,求求t≥0时的时的uC(t)、、iC(t)和和i 解： t≥0时的等效电路如图时的等效电路如图 示，示， 例题例题2、右图所示电路，开关、右图所示电路，开关K在在t =0时闭合，求：时闭合，求：t ≥0时的时的uc(t)、、 ic(t)，，以及以及 i1(t) 、、i2(t)。
显然，没有必要分别列写微分方程显然，没有必要分别列写微分方程来求解，可以利用零输入响应的公来求解，可以利用零输入响应的公式来求解式来求解解：解：①①先求初始条件先求初始条件独立初始条件：画独立初始条件：画0+等效电路：等效电路：得得：：②②求时间常数求时间常数τ τ是由一阶电路本身电路参数决定的固有特征，一个一阶电路是由一阶电路本身电路参数决定的固有特征，一个一阶电路只有一个时间常数，所有支路电压电流过渡过程都是以同一个只有一个时间常数，所有支路电压电流过渡过程都是以同一个时间常数为衰减系数的时间常数为衰减系数的③求uc(t)思考：思考： u uc c(t)(t)的时间常数为的时间常数为τ=1sτ=1s，，那么那么i i1 1(t)(t)和和i i2 2(t)(t)的时间的时间常数为多少呢？常数为多少呢？ 二、RL电路的零输入响应 1、求零输入响应 例例1、、uL、、i L 取关联参考方向，求取关联参考方向，求t≥≥0时，时，i L（（t） 解：显然有：解：显然有：①①列方程：列方程： 换路后得：换路后得： 和和电电容容放放电电方方程程类类似似，，也也是是一一阶阶线线性性常常系系数数齐齐次次微微分分方方程程，，其其解应有类似的指数形式。
解应有类似的指数形式 令：令：则，微分方程的特征方程为：则，微分方程的特征方程为： L p+R=0 其特征根为：其特征根为：仍然定义仍然定义 为时间常数为时间常数 ，， 则有：则有： 2、时间常数： Req 为从为从L两端看过去电路的戴维南等效电阻两端看过去电路的戴维南等效电阻L——H R——ΩΩ τ——s l习题：图示电路，开关图示电路，开关K原在位置原在位置1，已处稳，已处稳态，态，t=0时，时，K合到位置合到位置2求换路后求换路后（（t≥≥0）） 解解： ①① ②② t≥0时， ③③确定确定A A 代入代入t=0t=0+ +时，时， i iL L(0+)=I(0+)=I0 0, , 得：得：A= IA= I0 0 或者如下求解：或者如下求解：① ② ② 由由0+0+等效电路得：等效电路得： ③ ④ RL电路的零输入响应电路的零输入响应RL电路的时间常数为电路的时间常数为 RL一阶电路的零输入响应的一般为形式为一阶电路的零输入响应的一般为形式为 一阶电路零输入响应的一般形式为一阶电路零输入响应的一般形式为 l§4—3 一阶电路的零状态响应 零零输输入入响响应应是是换换路路后后，，电电路路中中无无电电源源激激励励输输入入，，仅仅靠靠储储能能元元件件的储能建立的过渡过程响应的储能建立的过渡过程响应( (储能元件的放电过程储能元件的放电过程) )。
零零状状态态响响应应：：换换路路前前储储能能元元件件无无初初始始储储能能（（即即初初始始状状态态为为0 0）），，换换路路后后在在电电源源激激励励输输入入下下建建立立的的过过渡渡过过程程响响应应（（储储能能元元件件的的充充电过程）电过程）一、一、RCRC电路的零状态响应电路的零状态响应 已已知知：：K K在在t=0t=0时时闭闭合合，，且且u uc c（（0-0-））=0V,=0V,分分 析析 ：： t≥0t≥0时时 ，，u uc c（（ t t）） ，，i i（（t t））的变化规律的变化规律 定性分析：第一稳态定性分析：第一稳态 u uc c（（0 0+ +））=0 =0 第二稳态第二稳态 u uc c（（∞∞））= =U Us s 从从第第一一稳稳态态到到第第二二稳稳态态也也不不是是瞬瞬时时完完成成的的，，也也有有过过渡渡过过程程，，似乎也应该是按指数规律变化似乎也应该是按指数规律变化 1 1、定量计算：、定量计算：① ① t≥0t≥0时由时由KVLKVL得：得：元件方程：元件方程： ②②先求对应的齐次方程的通解先求对应的齐次方程的通解u uc c’’’’（（t t））齐次方程为：齐次方程为： ③③求非齐次方程的一个特解求非齐次方程的一个特解u uc c’’（（t t）） 一阶、线性、常系数、非齐次微分方程一阶、线性、常系数、非齐次微分方程 可得：非齐次方程的一个特解为可得：非齐次方程的一个特解为u uc c’’（（t t））= =U Us s ④④非齐次微分方程的通解为：非齐次微分方程的通解为：A A为代定常数为代定常数⑤⑤确定待定常数确定待定常数 A A 将将t t=0=0+ +时的值代入，即代入时的值代入，即代入u uc c（（0 0+ +））=0 =0 得：得： 2.2.波形（响应曲线）波形（响应曲线） 按指数规律从第一稳态过到第二稳态按指数规律从第一稳态过到第二稳态 3、RC电路（零状态响应）的能量关系 在过渡过程中，由于在过渡过程中，由于C C无初始储能，因此，电源提供功率，而无初始储能，因此，电源提供功率，而C C和和R R则吸收功率则吸收功率 。
若若C无初始储能，无初始储能，K在在t=0时闭合，则：时闭合，则： 其中τ=RC 电容上储存的能量为：电容上储存的能量为： 可见，不论电阻电容为何值，零状态响应过程中，电源供给的能量只有一半转换成电场能储存于电容中，而另一半则消耗在电阻上如果是专门为电容充电电路，则充电效率只有50% 在整个过渡过程中，电阻消耗的能量为在整个过渡过程中，电阻消耗的能量为：： RC电路的零状态响应电路的零状态响应时间常数为：时间常数为： l例1： 已知：电容事先充电，已知：电容事先充电，K在在t=0时闭合 求：求： ①①τ，，和最大充电电流；和最大充电电流； ②② ；； ③③做曲线做曲线 ；； ④④K合上合上150μs时的时的 值 解：用三要素法解：用三要素法 ①① τ=RC=100×0.5×10－6=50μs=5×10－5 s ②② ③③画画响响应应曲曲线线 如如何何画画响响应应曲曲线线（波形）呢？（波形）呢？方法：方法： 1.找第一稳态值找第一稳态值 2.找第二稳态值（渐近线）找第二稳态值（渐近线） 3.从第一稳态按指数规律过渡到从第一稳态按指数规律过渡到 第二稳态第二稳态 ④④求求t=150μst=150μs时，时，u uc c和和 i i 值值 。
l二、直流输入下RL电路的零状态响应 图图示示电电路路，，已已知知iL（（0-））=0，，K在在t=0时时打打开开，，求求：：t≥0时时，，iL（（t））和和uL（（t） 解：解：1、求零状态响应、求零状态响应 t≥0t≥0时可得时可得KCLKCL方程：方程：i iR R+ +i iL L=I =I s s 代入 得：A=－IS 2.响应曲线响应曲线 3.能量关系：能量关系： 可可见见，，RL零零状状态态电电路路中中，，电电流流源源提提供供的的能能量量也也只只有有一一半半储储存存在在电电感感线线圈圈中中，，另一半则消耗在电阻中（不论另一半则消耗在电阻中（不论R、、L为何值，结论都如此）为何值，结论都如此） RL电路的零状态响应电路的零状态响应时间常数为：时间常数为： l例2 已知电感初始无储能已知电感初始无储能求：求：K K闭合后的闭合后的i iL L(t)(t)，，i i(t)(t) 解：用三要素法解：用三要素法 ①① iL(0+)= iL(0-)=0，，由由0+等等效效电电路路[ [L相相当当于于开开路路，，∵∵iL( (0+) )=0] ] 得：得： 画波形画波形 图示电路中，图示电路中，S合上前，电容电压为零，求合上前，电容电压为零，求t≥0时的电容电压和各时的电容电压和各支路电流。
支路电流 Ωt=0iCR1S+US-+uC-5μF3kΩR26ki2i112v解：换路后电路的时间常数为解：换路后电路的时间常数为 例一例一: : 图示电路中，图示电路中，S闭合前电感中无电流，求闭合前电感中无电流，求t≥0时的时的uL、、i和和iL 解：戴维南定理解：戴维南定理例二：例二： 4-4 一阶电路的全响应l一、全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，即：一、全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，即：l 全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应 ①① 零输入：零输入： ②②零状态：零状态： 按叠加定理有：按叠加定理有： ③③全响应的求解方法全响应的求解方法再回顾零状态响应的求解过程：再回顾零状态响应的求解过程： 非齐次方程的特解为：非齐次方程的特解为：uc＇（＇（t））=Us 非齐次微分方程的通解为：非齐次微分方程的通解为： A为代定常数为代定常数 代入代入t =0+时的值，时的值，uc(t)= uc(0+) =0得：得： 全响应应为：全响应应为： 一阶电路的全响应及三要素分析法一阶电路的全响应及三要素分析法 l三要素分析法三要素分析法根据叠加定理，全响应可看作是外施激励和储能元件的初始储能根据叠加定理，全响应可看作是外施激励和储能元件的初始储能单独作用时各自产生的响应的叠加。
单独作用时各自产生的响应的叠加 零输入响应：零输入响应： 电路的全响应为电路的全响应为 全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应=稳态分量稳态分量+暂态分量暂态分量 三要素公式三要素公式 零状态响应零状态响应：： 对uC和iL成立 三要素分析法的一般步骤三要素分析法的一般步骤l求求f(0＋＋)l求求f(∞) (ｔ＝ｔ＝∞: ｕｕ、、ｉｉ不随时间变化不随时间变化) l求求τ含源含源网络网络L或或Cl求求f(t)＝＝ f(∞) ＋＋ ［［f(0＋＋)－－f(∞)］］e-t/τ一般来说，电感电路先求一般来说，电感电路先求iL(t)较方便，电容电路先求较方便，电容电路先求uC(t)较方便 l例1. 求K闭合后的iL(t)和i(t) 解：解：①① iL(0+)= iL(0-)=-2A 0+等效电路为下图等效电路为下图，，由由0+等效电路可得等效电路可得 i( (0+) )=0A 例2、电路原已处于稳态，t=0时K闭合，求t≥0时的uc，iL，iK 解：解：K闭合电路成为两个独立的一阶电路闭合电路成为两个独立的一阶电路 例例3图示电路中，图示电路中，S闭合前处于稳闭合前处于稳态。
当态当t=0时时S闭合后，则全响闭合后，则全响应应uC(t)=______________V其中：其中： uC(0+)=_____V ；； uC( )=_____V ；； =_____ s.0.001初始值：初始值：全响应为：全响应为： 20 10A20 S40V40稳态值：稳态值：120时间常数：时间常数： 在图示电路中，在图示电路中，S闭合前电路已达到稳态闭合前电路已达到稳态US=15V，，R1=R3=100Ω，，R2=200Ω，，L=0.5H，，求求t≥0时的时的uL(t)、、i(t)和和iL(t) 解：解：由由KVL得得 例：例：4 4 例例5图示电路中，图示电路中，S闭合前处于稳闭合前处于稳态当t=0时时S闭合后，则全响闭合后，则全响应应 i(t) =______________A其中：其中： i(0+)=_____A ；； i( )=_____A; =________s.0.0625初始值：初始值：1稳态值：稳态值：0.5时间常数：时间常数： 。