结构自振频率和振型计算方法及各结构自振频率和振型计算方法及各方法方法比较比较 方法一：直接方法一：直接手算手算法法 即通过求解体系自由振动方程组，简单的表达为矩阵式：(𝐊 − 𝑤2𝒎)𝐗 = 0 式中： 𝐊 = [ 𝑘11𝑘12 𝑘21𝑘22 ⋯𝑘1𝑜 ⋮⋱⋮ 𝑘𝑜1⋯𝑘𝑜𝑜 ]；𝐦 = [ 𝑚1⋯0 ⋮⋱⋮ 0⋯𝑚𝑜 ]；𝐗 = 𝑋1 ⋮ 𝑋𝑜 频率方程为：|𝐊 − 𝑤2𝒎| = 0 此法适用于结构自由度为 1 的情形， 当结构自由度多于 2 或 3 时， 运用此法就显得过 于复杂 方法二：方法二：矩阵迭代法矩阵迭代法 矩阵迭代法又称 Stodola 法， 它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率和振型 主振型的变形曲线可以看做是结构按照某一频率振动时， 其上相应惯性力引起的静力 变形曲线因此，结构按频率 w 振动时，其上各质点的位移幅值将分别为： [ 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑜 ] = 𝑤2[ 𝛿11𝛿12 𝛿21𝛿22 ⋯𝛿1𝑜 ⋮⋱⋮ 𝛿𝑜1⋯𝛿𝑜𝑜 ]| 𝑚100 0⋱0 00𝑚𝑜 |[ 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑜 ] 或 𝐗 = 𝑤2𝛅𝐦𝐗 实际上 𝐗 = 𝑤2𝐊−𝟏𝐦𝐗 可见柔度矩阵与刚度矩阵是互逆的，即𝛅 = 𝐊−𝟏。
该法的计算步骤：先假定一个振型带入上式等号右边，进行求解后得到𝑤2和其主振型的第 一次近似值；再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到𝑤2和其主振型的第二次近似 值；如此下去，直到前后两次的计算结果接近为止当一个振型求得后，则可利用振型的正 交性，求出较高次的频率和振型 该法的缺陷：由于在求解高频率及其主振型时，要利用已被求出的较低振型，故计算误差将 随着振型的提高而增加 采用该法计算较多自由度的体系频率和振型时， 需要列出每一质点 的运动方程，并分别解方程组，因此质点较多时，此法较复杂 方法三：能量法方法三：能量法 适用于求解多自由度体系的基本频率 又称瑞雷法， 是根据体系在振动过程中能量守 恒的原理导出的， 即一个无阻尼的弹性体系在自由振动时， 在任意时刻的动能和变形位能之 和保持不变亦即位移最大时的变形位能𝑉𝑛𝑎𝑦等于位移最小时的动能𝑈𝑛𝑎𝑦 𝑈𝑛𝑎𝑦= 1 2 w2∑𝑚𝑗𝑋𝑗2 𝑜 𝑗=1 𝑉𝑛𝑎𝑦= 1 2 ∑𝑚𝑗𝑔𝑋𝑗 𝑜 𝑗=1 𝑈𝑛𝑎𝑦= 𝑉𝑛𝑎𝑦 得到w = √𝑔∑𝑚𝑗𝑋𝑗 𝑜 𝑗=1 ∑(𝑚𝑗𝑋𝑗2) 𝑜 𝑗=1 ⁄ T = 2𝜋 𝑥 运用此法时，要提高精度，可采用迭代法进行计算。
即先按照已算的频率算出各质点的 相应惯性力，然后按此惯性力计算结构位移，这时得到的曲线为修正后的振型，以此新振型 计算新频率如此计算下去，直到得到需要的精度 方法四：等效质量法方法四：等效质量法 适用于求解多自由度体系和无限自由度体系的基本频率， 为了简化计算， 根据频率相等 的原则，将所有的质量集中到一个或几个质点上，此集中所得到的质量成为等效质量 𝑚𝑒= 𝑘𝑘𝑘∑ 𝑚𝑗 𝑘𝑗𝑗 𝑜 𝑗=1 体系的基本频率为 1 w2 = 𝑛𝑒 𝑙𝑘𝑘 = ∑ 𝑙𝑘𝑘 𝑛𝑗 𝑜 𝑗=1 = ∑ 1 𝑥𝑗2 𝑜 𝑗=1 此式又称为邓克来公式， 是计算多自 由度体系基本频率的近似公式，是真实频率的下限 方法五：顶点位移法方法五：顶点位移法 是根据在重力荷载水平作用时， 算得的顶点位移来推求其基本频率或基本周期的一种方 法 可用以计算多层框架结构的基本周期， 只是在求解时需要框架在重力荷载水平作用时的 顶点位移 方法六：振方法六：振型分解法型分解法 用体系的振型作为基底，用另一函数q(t)作为坐标，就可以把运动方程的方程组简化为 几个独立的方程，每个方程只包含一个未知量。
独立求解，简化求解它是求解多自由度弹 性体系地震反应的重要方法 多自由度的水平地震作用计算方法多自由度的水平地震作用计算方法 多自由度弹性体系的水平地震作用可采用振型分解反应谱法求得， 一定条件下也可以采 用比较简单的底部剪力法 详见复习资料手抄版详见复习资料手抄版。