第十一讲 分析学的严格化与开拓微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”然而牛顿和莱布尼兹的微积分在逻辑上并不够严格，这使得他们的学说从一开始就受到怀疑和批评微积分理论在使用无限小概念上的随意与混乱，引起了所谓的“第二次数学危机”为了消除早期微积分的逻辑缺陷，数学家们在其严格基础的重建方面做出了种种尝试在18世纪的分析时代，先是达朗贝尔用初等的极限概念代替了牛顿含糊的首末比方法后是欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论拉格朗日则主张用泰勒级数来定义导数欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核§11.1分析的算术化经过一个世纪的不懈努力，数学家们在严格化基础上重建微积分的尝试终于在19世纪初开始初见成效其中最具影响力的先驱性人物当推法国数学家柯西他于1820年前后，在分析方法方面完成了一系列著作，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理以下是这方面的一些例子：1．变量依次取许多互不相同的值的量叫作变量”2．函数当变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这些自变量表示的其他量就叫作这个自变量的函数”。
按照这个定义，不仅无穷级数可以规定一个函数，而且也突破了函数必须有解析表达式的要求3．极限当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限”4．无限小量当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以致比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量”柯西的无限小不再是一个无限小的固定数5．连续函数柯西第一次解决了函数连续性的定义问题按他的定义，函数在给定限之间关于保持连续，如果在这两限之间变量的每个无限小增量总产生函数本身的一个无限小增量以往欧拉所说的“连续”是指光滑（即可微）函数，而在18世纪后期关于弦振动所引起的争论中，数学家们则把“连续性”理解为函数具有一致的解析表达式6．导数与微分柯西把导数明确定义为差商当无限地趋向于零的极限，函数的微分法则定义为以往常常是先取某种形式的微分作为基本概念，而把的导数作为表达式的“微分系数”而引入7．积分柯西首先指出，在研究积分或原函数的各种性质以前，应先证明它们是存在的也就是说需要首先对一大类函数给出积分的一般定义设函数在给定区间上连续，并用点把区间划分为个子区间，对应于每个这样的划分，构造近似和：，柯西证明这个和数当区间长趋向于零时的极限与划分的方式无关，并把这个极限定义为在区间上的积分。
这个定义后来被黎曼直接推广，将每个区间端点用区间内任一点来代替，就得到现在所说的黎曼积分在以上一系列定义的基础上，柯西得以严格地表述并证明微积分基本定理，中值定理等一系列重要定理，如微积分基本定理被表述为：在区间上给定连续函数，对于，由定义的新函数就是的原函数或反导数，即在上有柯西还对无穷级数进行了严格化处理，明确定义了级数的收敛性，并研究了判别级数收敛的条件令是所研究的无穷级数前项的和，为自然数，若当趋向于无限大时，和无限趋近于某一极限S，柯西就说级数是收敛的柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步他的许多定义和论述已经相当接近于微积分的现代形式尤其是关于微积分基本定理的叙述与证明，几乎与今天的教科书完全一样柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞例如，他用了许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言特别是，微积分计算植根于实数园地，但直到19世纪中叶，数学家们还没有给出实数的明确定义对实数系缺乏充分的理解，不仅会造逻辑上的间断，有时甚至会导致结论上的错误当时人们对连续函数处处可微的看法就是一个典型。
当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年给出一个处处连续但却处处不可微的函数时，整个数学界大为震惊魏尔斯特拉斯的函数使人们迫切感到彻底摆脱对几何直觉的依赖，重新考察分析基础，基于纯粹算术重建分析学的必要性由此引来了19世纪后半叶的“分析算术化”运动在数学史上，魏尔斯特拉斯因对分析严格化的贡献而赢得了“现代分析之父”的称号这种严格化的突出表现是e-d语言的创立，还有一致收敛性的引进可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上不能缺少魏尔斯特拉斯的工作魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数（有理数）这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补这就是所谓“分析算术化”纲领1857年，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义，这个定义大意是先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数但没有正式发表1872年，戴德金、康托尔、梅雷和海涅等人几乎同时发表了他们各自的实数理论戴德金和康托尔的实数构造方法正是我们现在通常所采用的戴德金的方法也称为戴德金分割，是将一切有理数的集合划分为两个非空不相交的子集A1和A2，使得A1中的每一个元素小于A2中的每一个元素，这时戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割，记为（A1，A2）。
有些分割是有理数产生的，在这样的分割中，要么A1有最大元素，要么A2有最小元素但有些分割却不是，例如，若A2是由满足的一切正有理数组成，A1是由一切其余的有理数组成，则既不存在A1的最大元素，也不存在A2的最小元素，因为不存在有理数使得戴德金说：没当我们考虑一个不是由有理数产生的分割（A1，A2）时，就得到一个新数即无理数，我们认为这个数是由分割（A1，A2）完全确定的因此，戴德金就把一切实数组成的集合R定义为有理数集的一切分割，而一个实数就是一个分割（A1，A2）康托尔的基本思想则是把实数定义为满足柯西收敛准则的有理数基本序列，这里对任意正整数一致地趋于0康托尔把每个有理数基本序列与一个实数等同起来而两个基本序列与，若，则被看成是等价的，即它们定义同一个实数用现代语言说，康托尔的定义相当于把实数集合定义为有理数的基本序列的一切等价类的集合如果是一个有理数，则序列就表示对应于的实数戴德金和康托尔在他们各自的实数定义下都严格证明了实数系的完备性这样长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成§11.2 解析数论的形成在分析严格化的同时，数学家开始更自觉地将分析工具应用于其他数学分支。
解析数论的形成，正是分析方法在数论中的应用结果事实上，欧拉在数论中已引进了分析方法不过这种方法在当时还显得十分有限而不成熟解析数论作为有意识使用分析方法研究数论问题的一门分支是从狄利克雷开始的1837年，狄利克雷利用分析方法证明了欧拉和勒让德早先提出的一个猜想，即每一个算术序列a + n b（a, b互素）中都有无穷多个素数在证明中，狄利克雷引入了后来随其命名的L函数，其中是复变数，称为狄利克雷（剩余）特征标此后，狄利克雷L函数成为研究数论问题的重要工具不过促使解析数论取得长足进展的重要因素是关于素数分布问题的研究若以p(x)表示不超过x的素数的个数欧拉、勒让德、高斯都曾推测但他们都未能给予证明这就是著名的素数定理最先在这方面作出贡献的是俄国数学家切比雪夫他在1850年给出并证明了当x充分大时，不等式 成立， 其中素数定理也引起了黎曼的兴趣他在1859年从欧拉的一个有关恒等式中引出了黎曼z函数的概念，指出素数性质可以通过复变函数z(s)来探讨他还建立了与z(s)的零点有关的表示p(x)的公式因此，研究素数分布的关键转变为对函数z(s)性质的讨论这样，黎曼就开创了解析数论的新时期，并使复分析成为这一领域的重要工具。
在这篇文章中，黎曼还提出一个猜想：z(s)在带形区域中的一切零点都位于这条线上，其中表示复变数s的实部这就是著名的黎曼猜想1896年，阿达马和瓦莱·普桑根据黎曼的方法和结果，应用整函数理论，终于证明了素数定理，从此解析数论开始得到迅速发展，并成为20世纪最为活跃的数论分支之一§11.3 数学物理与微分方程物理问题从来就是数学发展的源泉18世纪数学和物理的结合点主要是常微分方程随着物理科学研究的现象从力学向电学以及电磁学扩展，到19世纪，偏微分方程的求解为数学家和物理学家关注的重点19世纪偏微分方程发展的序幕，由法国数学家傅里叶拉开他因研究吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律，于1822年发表了《热的解析理论》，这是数学史上的经典文献之一傅里叶研究的主要问题是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程，其中是一个常数，其值依赖于物体的质料傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、面绝热而无热流通过的柱轴，在此情形下求解上述传导方程。
因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是解偏微分方程其中下面的两项分别是边界条件和初始条件傅里叶为解这个方程用了变量分离法，他得到为了满足初始条件，必须有这就促使傅里叶不得不考虑任何一个函数，能否将它表示成三角级数的问题傅里叶得出的结论是：每个函数都可以表示成这样，每个就可由上式乘以，再从0到积分而得到他还指出这个程序可以应用与表达式接着，他考虑了任何在区间的表达式，利用任何函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和这一事实，傅里叶可以将区间上 的任何表示为 ，其系数由确定，这就是我们通常所称的傅里叶级数为了处理无穷区域的热传导问题，傅里叶同时还导出了现在所称的“傅里叶积分”： 傅里叶的工作在发展偏微分方程理论的同时，解放了人们对函数概念的固有认识，从此以后，函数不再仅仅局限于解析函数或可展成泰勒级数的函数19世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物是格林位势方程也称拉普拉斯方程拉普拉斯曾采用球面调和函数法解过这个方程，不过他得出的是一个错误结论位势”的名称来源于格林，与前人不同的是，格林充分认识到了位势方程的重要性，并发展了位势函数的一般理论。
他求解位势方程的方法称为奇异点方法1828年，格林建立了许多有益于推动位势理论朝前发展的极为关键的定理与概念其中以格林公式（为物体表面指向内部的法向，是体积元，是面积元）和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远格林是剑桥数学物理学派的开山祖师，他的工作培育了汤姆逊、史托克斯、麦克斯韦等强有力的后继者作为19世纪典型的数学物理学家他们的主要目标，是发展求解重要物理问题的一般数学方法，而他们手中的主要武器就是偏微分方程，以致于在19世纪，偏微分方程几乎变成了数学物理的同义语就在这一时期，通过各种实际的物理问题，数学家们建立起了类型众多的微分方程然而，面对自己建立的微分方程，数学家们试图推求其显式解的努力却屡遭败绩这种情况促使他们转而考虑解的存在性柯西最先在19世纪20年代对一类特殊的常微分方程给出了第一个存在性定理，接着，他又在1848年的一系列论文讨论了偏微分方程解的存在性并提出了证明的长函数方法柯西的工作在1875年被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅独立地发展为包括拟线性方程和高阶组在内的非。