比例线段讲义

1 / 7 比例线段比例线段 一、比例一、比例 1、四个数 a，b，c，d 成比例定义，比例的项，内、外项的含义 (1)两个比相等的式子叫比例，记作：(a∶b＝c∶d)，称作：a，b，c，d 成比例(其中 a，b，c，d 均不为 0)2)“比”——两数相除叫两数的比，记作：(a∶b)，在此 a 是比的前项，b 是比的后项 (3)中各部分名称 ①a，d 叫比例的外项 ②b，c 叫比例的内项③d 叫做 a，b，c 的第四比例项(a，b，c 顺序不准乱动)(4)比例中项 若 a∶b＝b∶c，则 b 叫 a，c 的比例中项 2、比例的基本性质(7 种变化形式)3、应用比例的基本性质判断成比例线段将所给的四条线段长度按大小顺序排列，如：a＞b＞c＞d，若最长(a)和最短(d)两条线段之积 ad 与另两条线 b、c 之积 bc 相等，则说明 线段 a，b，c，d 成比例 4、记住一些常用的结论：合比性质：如果，那么， 等比性质：:如果＝……＝(b＋d＋……＋n≠0)，那么【【典型例题分析典型例题分析】】 例例 1：：判断下列每组线段是否成比例： ①a＝4，b＝，c＝，d＝②a＝，b＝4，c＝3，d＝③a＝3，b＝4，c＝5，d＝6 ④a＝3，b＝5，c＝6，d＝10 例例 2：：已知，线段 a＝ cm，b＝4cm，c＝cm，求 a，b，c 的第四比例项。

例例 3 ：：已知，a＝2.4cm，c＝5.4cm，求 a 和 c 的比例中项 b 例例 4 ：：已知，线段 a＝1，b＝，c＝，求证：线段 b 是线段 a，c 的比例中项 例例 5 ：：若 3x＝4y，求 例例 6：：已知， 2 / 7①当 b＋d＋f≠0 时，求的值 ②当 b－2d＋3f≠0 时，求的值 例例 7：：在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为 50 米，同时，高为 1.5 米的测竿的影长为 2.5 米 ，那么古塔的高是多少米？ 例例 8：：如图， ，AD＝15，AB＝40，AC＝28, 求：AE 例例 9：： (1)若 3x＝4y，求 xy、xx－y、x－2yx＋y 的值 (2)若 a＋ba＝53，求 a－2bb 的值 (3)x:y:z＝2:3:4，求 x－y＋z2x＋3y－z 的值 (4)已知 a:b:c＝3:4:5，且 2a＋3b－4c＝－1，求 2a－3b＋4c 的值 (5)已知线段 AB＝15cm，CD＝20cm求 AB:CD 的值例例 10：： (1)已知：x：(x+1)=(1—x)：3，求 x (2)若 2x-3yx+y=12，求 yx。

(3) 若 a＋bb＝65，求 ab，a－bb (4)若 x2-3xy+2y2=0,求 yx (5)已知 x2=y3=z4 求 2x+3y-zz+2y-3x，x+y+zx(6)已知 x:y:z=4:5:7,求，23 5xyz zxy yz  (7)a：b：c=1：3：5 且 a+2b—c=8 求 a、b、c (8)已知 x：y=3：4，x：z=2：3，求 x：y：Z 的值9)若，求，2 5ace bdfac bd 234 234ace bdf  (10)y+zx=z+xy=x+yz=k,求 k 的值(两种情况) (11)已知在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，AB＝12,AE＝6,EC＝4,且 ADDB＝AEEC.求 AD 的 长黄金分割： 1．黄金分割点如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC>BC） ，若，则称线段 AB 被点 C 黄金ACBC ABAC分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比，即 AC=AB.215 AC B2. 黄金分割点的画法3 / 7 已知：线段 AB 求作：线段 AB 的黄金分割点 C。

作法：如图： (1)过 B 点作 BD⊥AB，使 BD＝ AB (2)连结 AD，在 AD 上截取 DE＝DB (3)在 AB 上截取 AC＝AE 则点 C 就是所求的黄金分割点 例 1：已知 P 为线段 AB 的黄金分割点，且 AP＜PB，则 （ ） A、； B、； C、； D、PBABAP2PBAPAB2ABAPPB2222ABBPAP 例 2：已知 P、Q 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AB＝10cm，则 PQ 长为（ ）A、 B、 C、 D、:) 15(5) 15(5)25(10)53(5例 3：已知线段 AB=a，段 AB 上有一点 C，若 AC=，则点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗？a253为什么？例 4：如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩215 BCAB形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.例 5：以长为 2 的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点 F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图 （1）求AM、DM的长. （2）求证：AM2=AD·DM. （3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？练习： 一、选择题一、选择题 1、已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的 面积为 S1，以 PB，AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1与 S2的关系是（ ） A、S1＞S2B、S1＜S2 C、S1=S2D、S1≥S24 / 7 2、若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AB=8cm，AC＞BC，则 AC 等于（ ）A、cmB、2（﹣1）cm C、4（﹣1）cmD、6（﹣1）cm3、已知点 P 是线段 MN 的黄金分割点，MP＞NP，且 MP=（﹣1）cm，则 MN 等于（ ）A、2cmB、4cm C、6cmD、无法计算 4、 （2004•安徽）如图，扇子的圆心角为 x°，余下的扇形的圆心角为 y°，x 与 y 的比通常按黄金比 为设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为 0.6，则 x 为（ ） A、216B、135C、120D、108 二、填空题二、填空题5、若点 C 是线段 AB 的黄金分割点且 AC＞BC，则 ，= ． 6、已知一点 C 把 AB 分成两段 AC 和 BC，且 AC＞BC，当 就说 C 把 AB 黄金分割． 7、把长为 10cm 的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm． 8、 （2004•淮安）科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为 0.618 时，看起来最美．某成年女士 身高为 153cm，下肢长为 92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm． （精确到 0.1cm） 三、解答题 9 9、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请 你设法作出一个黄金三角形.1010、已知线段 AB=1,C 为 AB 的黄金分割点,且 AC>BC,求 AC-BC 的值.1111、如图的五角星中,AD=BC,且 C、D 两点都是 AB 的黄金分割点,AB=1,求 CD 的长.DCBA1212、已知 C、D 是线段 AB 上的两点,且 CD=(-2)AB,AC=BD,不难证明当 AB=1 时,C、D 是线段 AB5的黄金分割点,试探究当 AB 任意长时,C、D 是否是线段 AB 的黄金分割点?为什么?练习：练习：5 / 71、从下列式子中求 x∶y。

① (x ＋ y) ∶ y ＝ 8 ∶ 3 ②(x－y)∶y＝1∶22、已知： 求： (a＋b＋c)∶b3、已知：，x＋y－z＝6求 x，y，z4、已知：如图，，AB＝8cm，AD＝2cm，BC＝7.2cm，E 为 BC 中点求：EF，BF 的长 5、已知，线段 a＝2，且线段 a，b 的比例中项为求：线段 b 6、已知，点 P 段 AB 上，且 AP∶PB＝2∶5求 AB∶PB，AP∶AB7、ΔABC 和 ΔA′B′C′中，，且 ΔA′B′C′的周长为 50cm求：Δ ABC 的周 长8、已知，如图，求证：(1)(2)6 / 7 练习：一、填空题一、填空题1．已知线段 a=2，b=3，c=5 时，若 a，b，c，d 四条线段成比例，则 d=_______． 2．段 AB 上取一点 P，使 AP：PB=1：4，则 AP：AB=_____，AB：PB=_______． 3．如果 a=15cm，b=10cm，且 b 是 a 和 c 的比例中项，则 c=________．4．已知 a：b：c=2：3：5，则 =________．cbba 5．已知实数 x，y，z 满足 x+y+z=0，3x-y+2z=0，则 x：y：z=________．6、543zyx，则 xzyx， zyxzyx 532327、已知 b 是 a，c 的比例中项，且 a=3cm，c=9cm，则 b= cm。

8、如果，那么 3:1:1::cba cbacba 3532二、选择题二、选择题9、如果，那么将作为第四比例项的比例式是（ ）bcax xA B C D xa cbbc xaxc baca bx10、三线段、、 中，的一半的长等于的四分之一长，也等于 的六分之一长，那么这三abcabc 条线段的和与的比等于（ ）bA B C D 6:11:63:11:311、已知dc ba，则下列等式中不成立的是（ ）A.cd ab B. ddc bbaC. dcc baa D. ba cbda12、下列 a、b、c、d 四条线段，不成比例线段的是（ ）A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cm B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mmC. a=30mm b=2cm c=cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm5913、如果 a:b=12:8，且 b 是 a 和 c 的比例中项，那么 b:c 等于（ ）A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：47 / 714、已知53yx，则在①41 yxyx②53 53 yx③133 2yxx④38 xyx这四个式子中正确的个数是（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个。