指数函数、对数函数和抽象函数复习指南湖南省浏阳市教育局教研室 朱保仓一、 学习目标1、 理解分数指数幂、根式的概念，掌握有理数指数幂的运算法则.2、 理解对数的概念，掌握对数的性质和运算法则.3、 掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并能解决简单的实际实际问题4、 掌握解抽象函数问题的常用方法.二、 知识要点归纳1、 指数与对数（1）指数的主要内容有n次方根的定义与性质、根式的概念、分数指数幂的的概念，分数指数幂的性质，有理指数幂的运算.学习时要运用联系对比的方法（将n次方根的性质与平方根、立方根的性质比较，分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质比较），在对比中加深对新概念和性质的理解.（2）掌握对数的概念、对数式与指数式的互化及对数的运算性质要注意对数运算是指数运算的逆运算，结合对数运算培养自已的逆向思维能力.（3）指数与对数对比表：式子名称运算性质2、 指数函数与对数函数（1）要熟练掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质，能运用指数函数、对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、判断函数的单调性、奇偶性、比较大小等问题.（2）指数函数与对数函数的图象和性质对照表解析式图象定义域值域函数值变化情况当当 当当单调性当当当当反函数3、 抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（等式（方程）或不等式等）的一类函数。
中学阶段遇到的抽象函数大多是如下几种以常见初等函数为模型的抽象函数：（1） 一次函数型抽象函数（2）指数函数型抽象函数（3）对数函数型抽象函数 （4）幂函数型抽象函数（5）三角函数型抽象函数三、重点、难点透视1、指数函数、对数函数是重要的初等函数，有关内容的命题空间较大，既可以小题形式出现，也可以综合试题考查高考中往往将指数函数、对数函数与其他函数复合在一起来考查函数的有关性质（如定义域、值域、单调性、奇偶性等）.该内容的重点是函数的图象与性质；当时函数值的变化情况是该内容的难点.要注意底数a的变化对函数图象和性质的影响.（1）指数函数、对数函数在闭区间上必定存在最小值和最大值求含有此两类函数的最值时，一定要注意函数有意义的条件，来决定中间变量的取值范围，并综合运用求最值的各类方法求解.（2）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.（3）在该内容的学习过程中，要注意相关的数学思想（函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等）在问题解决过程中的运用.2、近年来全国高考中的不同试卷中都出现了抽象函数，且所占分值也逐渐增大，相关的题目往往是在知识的交汇处设计，主要题型有求值、判断函数具有的性质（奇偶性、单调性、周期性等）、解不等式等。
求解的关键是如何利用好题目所给的关系式.学习时要抓住如下几点：（1）注重概念，加深理解定义域和对应法则f的概念是函数的基础，反函数是函数中的重要概念.（2）深化性质，加强应用要注意函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性以及最值等概念的灵活运用.（3）以函数为背景，以方程、不等式为纽带，注意综合运用函数、方程、不等式、数列等知识分析解决问题.（4）尽力掌握一些重要的数学思想方法.如换元、赋值、递推、迭代等方法；特殊与一般之间的转化思想；试验—归纳—猜想—证明；联想与类比（运用已知的数学模型）等.四、典型例题分析例1、已知函数（1） 若定义域为，求m的取值范围；（2） 若值域为，求m的取值范围.解：（1）由题意知，对任意实数x恒成立所以 解得：（3） 设，则因为函数的值域是，所以解得： 评注：这是一个由对数函数与二次函数复合而成的“对数型函数”的问题由对数函数的图象与性质不难得到：前者是当x取任意实数时，二次函数v的值恒为正数，故应有＜0；而后者是要求在复合函数的定义域内，二次函数的值域是，故应有≥0.例2 设，求使为负值的的取值范围.解：依题意， 即 即 即 ∵ ∴ 即 ……①（1） 当时，①式两边取以为底的对数，得（2） 当时，①式两边取以为底的对数，得（3） 当＞0时，，∴①式恒成立，此时综上所述，当时，； 当时，； 当＞0时，.评注：对①式两边取以为底的对数时，应注意讨论与1的大小，且不可遗漏=1的情况；利用指数函数、对数函数的单调性解指数、对数方程或不等式，一般需化同底，使之宜于处理.例3 函数的图象是（ ） 解：方法1；由题设知：，又a＞1，由指数函数的图象知答案为B方法2：因 是偶函数，又a＞1，所以，排除A、C。
当时，，由指数函数的图象知答案为B.评注：本题考查指数函数的图象与性质，考查数形结合、分类讨论思想既可直接导出结论，又可用排除法，思路灵活.例4 设定义在上函数满足下列两个条件：（1）对一切正实数m、n，都有；（2）当x＞1时，＜0.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的单调性并加以证明；（Ⅲ）若的大小.分析：本题没有直接给出函数的解析式，是抽象函数的问题，但是可由题目的条件“对一切正实数m、n，都有”联想到对数函数的性质：=，再由题目的条件“当x＞1时，＜0”可知0＜a＜1.这样我们就可以通过对数函数的图象和性质来指导我们对问题的解决.例如：由对数函数的图象，可知（I）=0；（II）为减函数；（III）若.但特别值得注意的是绝不能把函数设为 来解.解：（I）令m=n=1，得所以（II）设则由条件（I）得，由条件（II）得所以 故 为减函数.（III）∵ ∴ ∴ 又 ∵ 当时，而由（II）知是减函数， ∴即 ∴ .例5 定义在区间的奇函数为增函数，偶函数在区间[0，+的图象重合，设，给出下列不等式①② ③ ④其中成立的是 （ ）A、①与④ B、②与③ C、①与③ D、②与④解：方法1：取适合条件的特殊函数= x，= |x|，并令则给出的4个不等式分别是① 3＞1；② 3＜1；③ 3＞－1；④ 3＜－1。
由②不成立，排除B、D，又④不成立，排除A，故选C.方法2：由题设知，4个不等式分别等价于①；②③ ④由于是奇函数，且定义在上，所以于是，由为增函数及得不等式①与③成立，故答案为C.方法3：如图，显然，，所以选C.评注：本题综合考查函数性质（奇偶性、单调性），试题比较长，兼考阅读、理解能力；题设上给出的两个函数都没有具体的解析式，借以加强概念的考查，要求对奇偶性、单调性有透彻的理解，会简化问题，对综合灵活地应用数学知识解决问题的能力要求较高.。