1 铜 陵 学 院 高 等 数 学 试 题 卷 （一） 一．选择题（每题 2 分，共 14 分） 1.下列各组函数中，为相同函数的是( ) A.𝒈(𝒚) = 𝐦𝐨𝒚𝟑与𝒉(𝒚) = 𝟑𝒍𝒏𝒚 B.𝒈(𝒚) = 𝒚与𝒉(𝒚) = √𝒚 𝟑 C.𝒈(𝒚) = 𝟐与𝒉(𝒚) = |𝒚| 𝒚 D.𝒈(𝒚) = √𝒚𝟓− 𝒚𝟒 𝟒 与𝒉(𝒚) = 𝒚√𝒚 − 𝟐 𝟒 2．当𝒚 → 𝟐时，𝟐 − 𝒚与√𝟐 − 𝒚 𝟒 相比是（ ） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶（非等价）无穷小 3.在平均变化率𝜟𝒛 𝜟𝒚取极限 𝐦𝐢𝐧 𝜟𝒚→𝟏 ∆𝒚 ∆𝒛的过程中，𝒚与𝜟𝒚的状态是（ ） A. 𝒚与𝜟𝒚都是常量 B. 𝒚与𝜟𝒚都是变量 C. 𝒚是变量𝜟𝒚是常量 D. 𝒚是常量𝜟𝒚是变量 4.设在[𝟏,𝟐]上， 𝒈′′(𝒚) 𝟏， 则𝒈′(𝟏)， 𝒈′(𝟐),𝒈(𝟐) − 𝒈(𝟏)或𝒈(𝟏) − 𝒈(𝟐)的大小顺序是 （ ） A. 𝒈′(𝟐) 𝒈′(𝟏) 𝒈(𝟐) − 𝒈(𝟏) B. 𝒈′(𝟐) 𝒈(𝟐) − 𝒈(𝟏) 𝒈′(𝟏) C. 𝒈(𝟐)− 𝒈(𝟏) 𝒈′(𝟐) 𝒈′(𝟏) D. 𝒈′(𝟐) 𝒈(𝟏) − 𝒈(𝟐) 𝒈′(𝟏) 5.函数𝒛 = 𝟓 𝟑−𝒚𝟑的图形水平，垂直渐近线共有（ ）条 A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列各题计算正确的是（ ） A.∫ 𝒚𝟑ⅆ𝒚 = 𝒚𝟑 𝟒 + 𝑪 B.∫ 𝟑 𝒚 ⅆ𝒚 = 𝟐 𝟑𝒚 + 𝑪 C.∫ ⅇ𝜶𝒚ⅆ𝒚 = 𝜶ⅇ𝜶𝒚+ 𝑪 D.∫𝒍𝒏𝒚ⅆ𝒚 = 𝟐 𝒚 + 𝑪 7.函数在闭区间上可积的必要条件是在该区间上（ ） A.有定义 B.连续 C.有界 D.无界 二．填空题（每小题 2 分，共 16 分） 1.设𝒈(𝒚)的定义域为[𝟏,𝟐]，则𝒈(𝒍𝒏𝒚)的定义域为_______________ 2.函数𝒛 = 𝒚𝟑−𝟐 𝒚𝟑−𝟒𝒚+𝟑的可去间断点是𝒚 =____________ 3.设𝒈(𝒚) = 𝟑𝒚 + 𝒚ⅇ𝒚,则ⅆ𝒈(𝒚)=______________________ 2 4.函数𝒛 = ⅇ𝒚在点(𝟏,𝟐)处的切线方程是___________________ 5.函数𝒛 = √𝒚𝟑 𝟒 的单调增加区间是__________________ 6.设∫ 𝒈(𝒚)ⅆ𝒚 = 𝒚ⅇ𝒚+ 𝑪，则𝒈′(𝒚) =__________________ 7.反常积分∫ 𝟐 𝟐+𝒚𝟑 ⅆ𝒚 +∞ −∞ =_________________________ 8.由定积分的几何意义可得∫ √𝒂𝟑− 𝒚𝟑ⅆ𝒚 𝒂 𝟏 =________________ 三．计算题（每小题 10 分，共 40 分） 1.求极限：𝐦𝐢𝐧 𝒚→𝟏 ( 𝟑 𝒚𝟑−𝟐 − 𝟐 𝒚−𝟐) 2.设{ 𝒚 = 𝒍𝒏(𝟐 + 𝒖𝟑) 𝒛 = 𝒖 − 𝒂𝒔𝒄𝒖𝒂𝒏𝒖,求 ⅆ𝒛 ⅆ𝒚及 ⅆ𝟑𝒛 ⅆ𝒚𝟑 3.计算不定积分∫ 𝟐 𝟐+ √𝒚 𝟒 ⅆ𝒚. 3 4.设𝒈(𝒚) = {𝒚 𝟑,𝒚 ∈ [𝟏,𝟐] 𝒚,𝒚 ∈ [𝟐,𝟑] ,求𝑭(𝒚) = ∫ 𝒈(𝒖)ⅆ𝒖 𝒚 𝟏 在[𝟐,𝟑]上的表达式。
四．证明题（共 10 分） 证明：当𝒚 𝟏时，𝒚 − 𝒚𝟒 𝟕 𝒕𝒊𝒏𝒚 𝒚. 五．应用题（每小题 10 分，共 20 分） 1.求由𝒛 = 𝟐 − 𝒚𝟑与𝒚轴围成的图形： （1）面积 ； （2）绕𝒛轴旋转一周所得的旋转体的体积 4 2.某厂生产某产品𝒚吨的成本函数𝑪(𝒚) = 𝟒𝒚 + 𝟐(万元)，销售每吨该产品的价格𝒑与销 量𝒚满足关系：𝒑 = 𝟖 − 𝟏.𝟖(万元/吨)，问： （1）若每销售一吨产品，政府要征税𝒖（万元） ，求该厂获得最大利润的销售量； （2）问𝒖为何值时，政府税收总额最大。