索洛增长模型,高伟 中央财经大学经济学院,问题的引出,自1950年以来，美国的储蓄率(即储蓄占GDP的比例)仅为18.7％左右，而德国为24.8％，日本为33.8％这一事实能否解释美国同大多数OECD国家相比增长率低的原因？储蓄率不断上升能否带来经济的长期持续增长？,预备知识：技术进步的类型,Y=F(K,AL)（哈罗德型，劳动增进型）Y=F(AK,L)（索洛型，资本增进型）Y=AF(K,L)（希克斯型，同等密集型）,新古典经济增长模型的提出,由美国经济学家R· Solow(索洛)和T·Swan(斯旺)提出,即Solow- Swan Model 模型认为:H-D模型所指出的经济增长途径是很难实现的(即GA=Gw=Gn) 他们把H-D模型提出的经济增长途径称为“刃锋” Solow模型就是要通过改变资本-产量比来解决这一“刃锋”，并且考虑技术进步对经济增长的作用索洛模型,（一）模型的基本假定 （二）模型的动态学 （三）参数变化的影响 （四）收敛问题 （五）模型的主要结论,（一）模型的基本假定,1.关于生产函数的假定产量取决于三个变量：资本、劳动、知识； A和L以相乘形式影响Y,（一）模型的基本假定,规模报酬不变这意味着：a 经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）；b 其他因素，如自然资源等不重要。
一）模型的基本假定,根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集形式：其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL·f(k),（一）模型的基本假定,进一步假设：,边际报酬递减,保证经济增长路径不发散,（一）模型的基本假定,,,,,,k,,,f(,k,),,新古典生产函数——新古典增长理论第一，每种投入的边际产品为正且递减 第二，规模报酬不变 第三，稻田条件：,满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数 因此，索洛增长模型又被称为新古典增长模型一）模型的基本假定,通常使用CD生产函数（索洛）：,,（一）模型的基本假定,满足索洛模型的CD函数形式为：,（一）模型的基本假定,2.关于投入品的假设资本、劳动、知识的初始水平既定，劳动、知识以不变速度（外生）增长：,指数增长,假设时间t是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长：（2）知识的增长：其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度,,,有效劳动的增长,劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增长，其增长率为：,,（一）模型的基本假定,资本的增长（投资）：,索洛经济,经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L和知识A是生产的三大要素（其他要素都可以忽略），经济在任何时刻都处于充分就业的均衡状态，储蓄总是等于投资；生产的规模报酬不变；技术进步表现为劳动效率的提高，即技术进步属于哈罗德型（劳动密集型）；生产函数的集约形式满足新古典假设；人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数，人口和知识呈指数增长。
二）模型的动态学,k的动态变化,（二）模型的动态学,索洛模型的核心公式：单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之差：：单位有效劳动的平均投资：持平投资，使k保持现有水平所必需的投资,经济解释,,,,,,,,（二）模型的动态学,（二）模型的动态学,k的相图（三维空间在平面的投影）,,,稳 态,,,,,,,,,,,,趋势定理,在索洛经济中，只要起始时刻的有效人均资本k=k(0)，那么就有 二）模型的动态学：平衡增长路径,k=k*时各变量的变动：,（二）模型的动态学,k=k*时各变量比例的变动：,证明,K的增长率：,,Y的增长率,规模报酬不变之假设这一假设说明了总产出是按照资本和有效劳动的边际生产力来分配的：其中 是资本的边际生产力， 是有效劳动的边际生产力由于资本与有效劳动以同样的增长率 在增长，所以， Y的增长率,从以上可推导：总产出的增长率也是,,,人均产出增长率,人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长 注意区分人均产出与人均有效劳动产出平衡增长路径,在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。
特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率大道定理,在索洛经济中，存在惟一的一条稳态增长道路不论经济从哪种初始资本水平启动，经济总是朝着这条稳态增长道路不断靠近一旦在某个时刻登上这条道路，那么从这个时刻开始，经济中的有效人均资本水平、有效人均产出水平和资本的边际收益都将永远保持不变，总产出、总资本和有效劳动将以同样的增长率保持稳定增长，人均产出将与技术进步（知识）以同样的增长率保持稳定增长三）参数变化的影响,索洛模型中，主要参数有：政策最有可能影响的是储蓄率,（三）参数变化的影响,1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.储蓄率增加的影响程度分析（定量）； 3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平1.储蓄率增加的影响方向分析,1.储蓄率增加的影响方向分析,如果两个国家除了储蓄率外，其他一切都相同，则储蓄率高国家的收入水平会永远高于储蓄率低国家，差距为：,1.储蓄率增加的影响方向分析,1.储蓄率增加的影响方向分析,1.储蓄率增加的影响方向分析,1.储蓄率增加的影响方向分析,1.储蓄率增加的影响方向分析,储蓄率的一个永久增加：导致k在一定时期上升，保持在一个较高水平； 在短期内会改变Y、K的增长率，长期无影响； 造成Y/L增长率的暂时性增长； 储蓄率的变化有水平效应（Level Effect），但没有增长效应（Growth Effect） ，在该模型中只有技术进步率有增长效应。
1.储蓄率增加的影响方向分析,对消费的影响（c为每单位有效劳动的平均消费）,2.储蓄率增加的影响程度分析,对单位有效劳动平均产量的影响,2.储蓄率增加的影响程度分析,2.储蓄率增加的影响程度分析,2.储蓄率增加的影响程度分析,如何估计 ：在平衡增长路径上，资本获得的总收入（完全竞争市场假设）：所以 可以用资本收入占总收入的比重来估计,完全竞争市场假设,案例：储蓄率增加的影响程度分析,中国1997年劳动报酬占净增加值的比重为0.6353，所以：资本收入/净增加值=0.3647 所以，人均产量对储蓄的弹性：,案例：储蓄率增加的影响程度分析,储蓄率增加10%（从30%到33%），则单位有效劳动的平均产出增加5.742%；增加50%，则单位有效劳动的平均产出增加28.71%；影响幅度并不大,总结：在长期内对产出的影响,稳态时，人均资本和人均产出不变,储蓄率变化对产出的长期影响,变化得到产出的储蓄率弹性,产出的资本弹性,产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额在多数国家，支付给资本的收入份额约为1/3则产出的储蓄率弹性约为0.5 因此，储蓄的显著变化只会对平衡路径上的产出产生中度的影响。
3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平,储蓄率越高，人均收入水平会越高 收入的目的毕竟是消费，收入本身不是最终目的 从消费最大化角度来确定一个最优储蓄率，相对应的人均资本，就是资本的黄金规则水平,3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平,在稳态下，消费等于：,定性分析,3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平,3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平,消费最大，也即资本黄金规则的条件：也即：,3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平,3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平,储蓄率提高，消费减少（储蓄率高于黄金规则水平）,3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平,储蓄率降低，消费增加（储蓄率高于黄金规则水平）,3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平,储蓄率提高，消费增加（储蓄率低于黄金规则水平）,3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平,储蓄率降低，消费降低（储蓄率低于黄金规则水平）,黄金律和动态无效率,过度储蓄的经济被称为动态无效率，因为降低储蓄率不仅提高了稳态消费，也提高了转移过程中的消费，即原来的人均消费路径在所有时点都位于另一条可行的路径之下k,0,,(n+g+δ)k,,f(k),,s1f(k),,k1*,,c1*,sgf(k),,,,kg*,,cg*,,动态无效率区域,（四）收敛问题,收敛速度绝对收敛与相对收敛,收敛速度的定性分析,结 论,这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大。
其他变量的收敛速度,可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长率与保持比例或线形关系，例如：,,,结论（索洛模型的收敛性）,每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快转型动态原理”,经济体低于稳态越多，将会增长越快；经济体高于稳态越多，将会增长越慢绝对收敛与相对收敛,对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛的概念 绝对收敛：不同经济体； 相对收敛：同质经济体绝对收敛,不同的经济体：穷国比富国增长快 绝对收敛假说相对收敛,一个经济离其自身的稳态值越远，增长就越快 相对收敛假说收敛速度：定量分析,收敛速度： k以多快的速度趋近于k*2.储蓄率增加的影响程度分析,2.储蓄率增加的影响程度分析,x的增长路径：,2.储蓄率增加的影响程度分析,为变化的速率：估计为1/3； 估计为6% 所以，速率为4%,2.储蓄率增加的影响程度分析,k和y每年向平衡结果移动剩余距离的4% 移动到一半需要18年；移动到3/4需要不到35年； 如果储蓄率增加10%，1年后产出增加0.2%（总共能增加5%） 收敛速度是比较慢的,收敛速度总结,每单位效率工人资本变化：,围绕k*的一阶泰勒展开式：,上式的解析解意味着k与稳态值k*之间的距离以λ的速度减少。
在稳态的邻域内，产出和资本具有相同的增长速度案例：日本和德国的增长奇迹： 验证了新古典增长理论？,1948～1972人均产出年增长率：日本：8.2％德国：5.7％美国：2.2％,图 示,,,,,,,,0,y,k2 k1 k,A2,A1,（n1+ δ）k,sf（k）,绝对收敛与条件收敛,资本的边际产出递减意味着有着更低人均资本的经济趋于在人均项上更快的增长 绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，因此穷国趋于追上富国 条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远，增长越快 巴罗认为索洛模型预测了条件收敛索洛模型总结,Solow-Swan模型：（1）核心方程,Solow-Swan模型： （2）经济稳态和“黄金律”下的最优资本存量,Solow-Swan模型： （3）参数变化对稳态和黄金律水平的影响,Solow-Swan模型： （4）参数变化对转移动态的影响,Solow-Swan模型：（5）条件收敛、收敛速度和时间,Solow-Swan模型：（6）基本结论,Solow-Swan模型能解释增长吗？,Solow-Swan模型的问题： 仅仅是物质资本的差异不能解释各国巨大的收入差距和增长率差异。
Lucas，1990） 物质资本投资是否有外部性？物质资本投资对经济增长的作用是否比Solow-Swan模型所描绘的要来得强？ AL 的确切含义是什么？其增长率g由哪些因素决定？Solow-Swan模型假定技术进步率外生，实际上是就把决定增长的最关键的因素给忽略掉了 如果储蓄率决定最终的人均收入水平，那么什么决定储蓄率？很多其它的因素（如人口增长率）可否内生？,Solow-Swan模型能解释增长吗？,Solow-Swan模型的成功之处 预言了条件收敛，而非绝对收敛； Mankiw et al.（1992）认为引入人力资本的索洛模型可以很好地解释各国之间的收入差距附录：边际产出,由规模报酬不变可以得到,。