第十四章静定结构的位移计算

第十四章 静定结构的位移计算第一节 计算结构位移的目的建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面位置发生 改变，这称为结构的位移如图 14—1a 所示的刚架，在荷载作用下，结构产生变形如图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A′点，线段 A A′ 称为 A 点的线位移，一般用 符号△ A 表示它也可用竖向线位移 和水平线位移 两个位移分量来表示，如图 14—VH1b 所示同时，此截面还转动了一个角度，称为该截面的角位移，用 φA表示使结构产生位移的原因除了荷载作用外，还有温度改变使材料膨胀或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中发生误差、基础的沉陷或结构支座产生移动等等因素，均会引起结构的位移本章主要讨论荷载作用、基础沉陷或结构支座产生移动而引起结构的位移位移的计算是结构设计中经常会遇到的问题计算位移的目的有两个： PAͼ14-△ AHV△£¨a©£¨b（1）确定结构的刚度在结构设计中除了满足强度要求外还要求结构有足够的刚度，即在荷载作用下(或其他因素作用下) 不致发生过大的位移例如，吊车梁的最大挠度不得超过跨度的 ，楼板主梁的挠度则不许超60过跨度的 。

此外，在结构的制作、施工等过程中，也常须预先知道结40构变形后的位置，以便作出一定的施工措施，因而也需要计算其位移2）为计算超静定结构打下基础因为超静定结构的内力单由静力平衡条件是不能全部确定的，还必须考虑变形条件，而建立变形条件时就需要计算结构的位移第二节 变形体的虚功原理一、功及广义位移如图 14—2 所示，设物体上 A 点受到恒力 P 的作用时，从 A 点移到A’点，发生了△的线位移，则W=P△ cos θ （14—1）称为力 P 在位移 △ 过程中所做的功功是标量，它的量纲为力乘以长度，其单位用 N．m 或 kN． m 表示式中，θ 为力 P 与位移 △ 之间的夹角图 14—3a 为一绕 O 点转动的轮子在轮子边缘作用有力 P设力 P 的大小不变而方向改 变，但始终沿着轮子的切线方向当轮缘上的一点 A在力 P 的作用下转到点 A′，即轮子转 动了角度 φ 时，力 P 所做的功为W=PRφ 式中，PR 为 P 点对 O 点的力矩，以 M 来表示，则有W＝Mφ 即力矩所做的功，为力矩的大小和其所转过的角度的乘积图 14—3b中，若在轮子上作用有 P 及 P′两个力，当轮子转动了角度 φ 后，P 及 P′所做的功为：W ＝PRφ 十 P′Rφ若 P= P′，则有W＝2 PRφ2 PR 即为 P 及 P′所构成的力偶，用 M′表示，则有W＝M′φ （14—2）即力偶所做的功为力偶矩的大小和其所转过的角度的乘积。

图 14—3 图 14—3为了方便计算，可将式（14—1）和（14—2）统一写成W=P△ (14—3) 式中，若 P 为集中力，则△就为线位移；若 P 为力偶，则△为角位移P 为广义力，它可以是一个集中力或集中力偶，还可以是一对力或一对力偶等等；称△为广义位移，它可以是线位移、角位移等等对于功的基本概念，需注意以下两个问题：1．功的正负号功可以为正，也可以为负，还可以为零当 P 与△方向相同时，为正；反之则为负若 P 与△方向相互垂直时，功为零2．实功与虚功实功是指外力或内力在自身引起的位移上所做的功；若外力(或内力)在其它原因引起的位移上做功，称为虚功例如图 14—4a 所示简支梁，在静力荷载 Pl 的作用下（所谓“静力荷载”是指所加的荷载 Pl 是从零缓慢逐渐的加到其最终值） ，结构发生了图 14—4a 虚线的变形，达到平衡状态当 Pl 由零缓慢逐渐的加到其最终值时，其作用点沿 Pl 方向产生了位移△11，此时 W11＝ Pl△ 11 就为 Pl 所作的实功，称之为外力实功；若在此基础21上，又在梁上施加另外一个静力荷载 P2，梁就会达到新的平衡状态，如图14—4b 所示，P l 的作用点沿 Pl 方向又产生了位移△ 12（此时的 Pl 不再是静力荷载，而是一个恒力） 。

P 2 的作用点沿 P2 方向产生了位移△ 22，那么，由于 Pl 不是产生 △ 12 的原因，所以 W12＝P l△ 12 就为 Pl 所作的虚功，称之为外力虚功；而 P2 是产生△ 22 的原因，所以 W22＝ P2△ 22 就是外力实功1在这里，功和位移的表达符号都出现了两个脚标，第一个脚标表示位移发生的位置，第二个脚标表示引起位移的原因 1122P£¨a©¨bͼ4-3．实功原理结构受到外力作用而发生变形，则外力在发生变形过程中作了功如果结构处于弹性 阶段范围，当外力去掉之后，该结构将能恢复到原来变形前的位置，这是由于弹性变形使结构积蓄了具有作功的能量，这种能量称之为变形能由此 可见，结构之所以有这种变形，实际上是结构受到外力作功的结果，也就是功与能的转化，则根据能量守恒定律可知，在加载过程中外力所作的实功 W 将全部转化为结构的变形能，用 U 表示，即W=U （14—4） 从另一个角度讲，结构在荷载作用下产生内力和变形，那么内力也将在其相应的变形上作功，而结构的变形能又可用内力所作的功来度量所以，外力实功等于内力实功又等于变形能这个功能原理，称为弹性结构的实功原理。

二、变形体的虚功原理前面所讲到的简支梁，在力 Pl 作用下会引起内力，那么，内力在其本身引起的变形上所做的功，称之为内力实功，用 W11′表示P l 所作的功W11 称之为外力实功力 Pl 作用下引起的内力在其它原因( 比如 P2)引起的变形上所做的功，称之为内力虚功，用 W12′表示P l 所做的功 W12 称之为外力虚功在该系统中外力 Pl 和 P2 所做的总功为： 21外而 Pl 和 P2 引起的内力所作的总功为 21内根据能量守恒定律，应有 ,即内外 W21 21根据实功原理，有12所以 （14—5）2W在上述情况中，P l 视为第一组力先加在结构上；P 2 视为第二组力后加在结构上，两组力 Pl 与 P2 是彼此独立无关的式（14—5）称为虚功原理其表明：结构的第一组外力在第二组外力所引起的位移上所作的外力虚功，等于第一组内力在第二组内力所引起的变形上所作的内力虚功为了便于应用，现将图 14—4b 中的平衡状态分为图 14—5a 和 b，二者是等价的图 14—5a 的平衡状态称为第一状态，图 14—5b 的平衡状态称为第二状态。

此时虚功原理又可以描述为：第一状态上的外力和内力在第二状态相应的位移和变形上所做的外力虚功和内力虚功相等这样第一状态也可以称为力状态，第二状态也可以称为位移状态£¨a©121¨b122Pͼ4-5µÚһ״̬¶þ´Ì虚功原理既适用于静定结构，也适用于超静定结构第三节 结构位移计算的一般公式结构的位移计算问题本身是个几何问题，我们知道若按几何关系和边界条件求解，计算过程是很复杂的现在，我们将结合图 14—6 所示结构讨论如何运用虚功原理来解决这类问题 PAKCB£¨a©Î»ÒÆ״̬ʵ¼£du,c12s¨b©Á¦×´Ì¬£ÐéÄâAKCBds=1R23RMQNÍ14-6△ £¬应用虚功原理，也就是要确定两个彼此独立的状态——力状态和位移状态位移状态是给定的，为图 14—6a 中虚线所表示的位移；力状态则可根据解决的实际问题来虚拟考虑到下面两方面因素，一方面，为了便于求出△；另一方面，为了便于计算因此在选择虚拟力系时应只在拟求位移△的方向设置一单位荷载 Pk＝1，如图 14—6b 所示由于单位荷载的作用，在支座处将有由单位力引起的反力这样就构成了一组虚拟状态的平衡力系——力状态根据以上两种状态，计算虚拟力状态的外力和内力在相应的实际位移状态上所做的虚功。

外力虚功： cRcRcPWKK1321外内力虚功： rdsQMduNlll 内以上二式中 ， ，…为虚拟单位力引起的广义支座反力；1R2c1，c 2，…为实际支座位移； ， ， 为单位力 PK＝ 1 作用所引起的某微段上的内力；du，dφ，ds 为实际状态中微段相应的变形由虚功原理： ，有内外 W(14—6)rdsQMduNcRlllK 可以看出，外力虚功在数值上恰好等于所求位移，这便是平面杆件结构位移计算的一般公式这种计算位移的方法称为单位荷载法设置单位荷载时，应注意下面二个问题：1．虚拟单位力 P＝1 必须与所求位移相对应欲求结构上某一点沿某个方向的线位移，则应在该点所求位移方向加一个单位力（图 14—7a） ；欲求结构上某一截面的角位移，则在该截面处加一单位力偶（图 14—7b） ；求桁架某杆的角位移时，在该杆两端加一对与杆轴垂直的反向平行力使其构成一个单位力偶，力偶中每个力都等于 （图 14—7c） ；求结构上某两点l1C、D 的相对位移时，在此二点连线上加一对方向相反的单位力(图 14—7d)；求结构上某两个截面 E、F 的相对角位移时，在此二截面上加一对转向相反的单位力偶(图 14—7e)；求桁架某两杆的相对角位移时，在此二杆上加两个转向相反的单位力偶(图 14—7f)。

2．因为所求的位移方向是未知的，所以虚拟单位力的方向可以任意假定若计算结果为正，表示实际位移的方向与虚拟力方向一致；反之，则其方向与虚拟力的方向相反1ll1l£¨a©£¨d£¨b£¨e£¨c©£¨fCDABEF11ͼ4-7这样，虚功方程中单位荷载在拟求位移△所作虚功 1×△，数值上就等于拟求位移△第四节 静定结构在荷载作用下的位移计算一．积分法若静定结构的位移仅仅是由荷载作用引起的，则 c＝0，因此式(14—6)可改写为（14—7）rdsQduNMlPlPlKP式中： ， ， 为虚设力状态中微段上的内力；Q， ， ，为实际状态中微段 ds 上在荷载作用下产生的变形PduPds通过第六章和第九章的学习已知：dsEIMPP1ANdudsGQKsrPP将上式代入式(14—7)中得 （14—8）l lPPlPKP EAdsNdsGQKdsEIM这就是结构在荷载作用下的位移计算公式式(14—8) 右边三项分别代表虚拟状态下的内力（ 在实际状态相应的变形上所作的虚功 N式中： ， ， ——虚设力引起的内力；MNQ， ， ——实际荷载引起的内力； PPEI、EA、GA——分别是杆件的抗弯、抗拉（压） 、抗剪刚度；K——剪切应力不均匀系数。

其值与截面形状有关，对于矩形截面K＝1.2；圆形截面 ；工字形截面 ，A 为截面的总面积，910KA′为腹板截面面积在实际计算中，根据结构的具体情况，式(14—8) 可简化为如下公式：对于梁和刚架，其位移主要是由弯矩引起的，其公式简化为（14—9）dsEIMPKP但在扁平拱中，除弯矩外，有时要考虑轴向变形对位移的影响对于桁架，因为只有轴力，且同一杆件的轴力 ， 及 EA 沿杆长NP均为常数，故式（14—8）可简化为l（14—10）EAlPKP例 14-1 试求图 14—8a 所示刚架 A 点的竖向位移 各杆材料相同，VA截面的 I、A 均为常数£¨a©Êµ¼×´Ì¬£¨bÐéÄâ״̬ABCxllqx1Í14-8′解：（1）在 A 点加一竖向单位荷载作为虚拟状态（图 14—8b） ，并分别设各杆的 x 坐标如图所示，则各杆内力方程为AB 段： ， ， M0N1QBC 段： ， ， l10（。