BHQ第三章第三章 点、线、面点、线、面 BHQ§3-1点的投影一、点在两面投影体系中的投影：|（一）、两面投影体系：|H与V划分空间为4个分角|着重研究第一分角 BHQ（二）、四个象角内的点（1） A点在Ⅰ象角内其正面投影a’在OX轴上方，水平投影a在OX轴下方2） B点在Ⅱ象角内H面之上，V面之后正投影b’在OX轴上方，水平投影b也在OX轴上方3） C点在第Ⅲ象角内其正投影c’在OX下方，水平投影c在OX上方4） D点在Ⅳ象角内其二投影d、d’都在OX轴上方 BHQ（三）、点的两面投影： BHQ（四）、点的两面投影规律：§Aa⊥H→a’ax⊥H→a’ax⊥ox § ox⊥Aa a’ax→ox ⊥aa’§Aa’⊥V→aax⊥ V→aax⊥ox§所以：得出：§1、aa’ ⊥ ox §2、 axa’=Aa , aax=Aa’ BHQ BHQ BHQ BHQ总结|综上所述，从投影图中点的投影与OX轴的相对位置，可判断空间点在投影面体系中所处位置，反之亦然。
1） 在投影图中，点的水平投影位于OX轴下方，则该点必位于V面之前；反之则在V面之后2） 点的正面投影位于OX轴上方，则该点必位于H面之上；反之则在H面之下3） 若点有一个投影位于OX轴上，则该点必在投影面上 BHQ|二、点的三面投影：（一）、三面投影体系， 八个分角：（二）、点的坐标及投影：（三）、点的三面投影规律：1、 aa’ ⊥ox 2、a’ a” ⊥ oz 3、aax⊥a”az BHQ BHQ点的轴测图 BHQ三、作图问题：（一）根据点的两面投影，求作第三投影：（二）根据点的坐标，求作点的三面投影：|已知Ａ（１５，１０，１５）求Ａ的三面投影|Ｘ＝１５,Ｙ＝１０,Ｚ＝１５（三）求作点的轴测图： BHQ已知点已知点A的两投影的两投影a、、a’，作出其第三投影，作出其第三投影a” BHQ|已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影|已知点的水平投影和侧面投影，求作正面投影|已知点的正面投影和水平面投影，求作侧面投影 BHQ BHQ四、两点的相对位置：|（一）、一般情况（一）、一般情况|空间两个点具有前后、左右、上下位置关系 BHQ|（二）、特殊情况（二）、特殊情况|重影点：当空间两点的连线⊥某个投影面时，它们在该面上的投影重合。
由于重影，有可见与不可见的问题， 不可见用（）将投影括起来 BHQ注意注意:重影点是相对于投影面而言的重影点是相对于投影面而言的 BHQ总结|１.Ｚ坐标大位于上方，坐标小位于下方２.Ｙ坐标大位于前方，坐标小位于后方３.Ｘ坐标大位于左方，坐标小位于右方 BHQ例题|1：已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，试确定点B的投影 BHQ BHQ例题|2 ：已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置 BHQ§3-§3-２２直直线线|一、直线的投影：（直线段）AB对于H面的倾角为α，AB对于V面的倾角为β，AB对于W面的倾角为Υ直线的投影一般情况一般情况下仍为直线 BHQ 两点决定一条直线，确定了直线上两点的投影也就确定了直线的投影即直线上两点的同面投影同面投影的连线就是直线的投影 BHQ§二、各种位置直线的投影特征：（一）、直线对一个投影的投影特征：§（1）、积聚性：垂直于投影面§（2）、实形性：平行于投影面§（3）、类似性：倾斜于投影面 BHQ（二）、直线在三面投影体系中的投影特性：（1）、投影面平行线：§1）空间位置：平行于一投影面，倾斜于其他两个投影面。
§2）投影特点：-----反映实长/反映夹角§①水平线： §②正平线：§③侧平线： BHQ BHQ水平线（水平线（horizontal line）） BHQ正平线（正平线（frontal line））α=实长投影与OX轴的夹角，β=0、γ=实长投影与OZ的夹角 BHQ侧平线（侧平线（profile line）） α=实长投影与OYW轴的夹角，β=实长投影与OZ的夹角、γ=0 BHQ§（2）、投影面垂直线： ①铅垂线 ②正垂线 ③侧垂线1）空间位置：垂直于一投影面，倾斜于其他两投影面2）投影特点：-----积聚性/反映实长 BHQ BHQ铅垂线（铅垂线（vertical line））α=90º，β=0º，γ=0º BHQ正垂线（正垂线（horizontal-profile line））α=0º，β=90º，γ=0º BHQ 侧垂线（侧垂线（frontal horizontal line））α=0º，β=0º，γ=90º BHQ§（3）、一般位置线：•一般位置线——与三个投影面既不垂直也不平行的直线•不具有积聚性和度量性，而且各个投影与投影轴的夹角不能反映直线对投影面的倾角α、β、γ。
BHQ BHQ§三、一般位置线的实长及倾角（对于投影面）§α是垂直坐标差§β 是前后坐标差§Γ是水平坐标差 BHQE E△△h h△△h=BE ?h=BE ?AE=ab△△h hFaF=AB ?QWWF1 BHQ（be=bc） BHQ§四、直线上的点： （一）、从属性：点的投影在直线的投影上二）、点分割线段之比，等于其投影之比 BHQ§求做直线上的点：点在直线上点在直线上 ，点的投影，点的投影在直线的同名投影上在直线的同名投影上§判断：对于一般位置线，点的投影在直线对于一般位置线，点的投影在直线的同名投影上，则点在直线上的同名投影上，则点在直线上 BHQ BHQ例题|1、 已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s＇，求其水平投影s.a ＇b ＇ abs＇ BHQ|2、 已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a＇，且AB=20mm，试求直线AB的正面投影a＇b＇；在直线AB上取一点C，使AC=15mm，求C点的两投影例题 BHQ BHQ§五、直线的迹点： （一）、定义： 投影面垂直线1个迹点 投影面平行线2个迹点 一般位置线有3个迹点§｛直线与H面的交点-------水平迹点------M§｛直线与V面的交点-------正面迹点------N§｛直线与W面的交点-------侧面迹点------S直线与投影面的交点，称为直线的迹点 BHQ§（二）、特性：（1）迹点的两投影必在该直线的同面投影上。
2）迹点在该投影面上的投影与本身重合， 另一投影在投影轴上 BHQ BHQ§六、两直线的相对位置：§（一）、两直线平行： AB∥CD→ab∥cd,a,b,∥c,d,,a”b”∥c”d” §反过来：ab∥cd,a,b,∥c,d,,a”b”∥c”d”→AB∥CD BHQ§投影面平行线→→§｛3个同面投影都平行→AB∥CD§｛反之，有1个同面投影不平行→AB不∥CDab∥∥cd，，a,b,∥∥c,d, ,a”b”∥∥c”d”→AB∥∥CD BHQ§（二）、两直线相交：§判断是否相交→→§ 一般位置线，两组同面投影相交，且交点符合投影规律，则空间两直线一定相交§ 在其所平行的投影面上 § 投影面平行线 相交，且符合规律→相交§ 投影符合定比关系→相交 BHQ§（三）、两直线交叉：不符合平行投影特征，也不符合相交投影特征不符合平行投影特征，也不符合相交投影特征1)可以两组同面投影平行，但不可能三组都 平行2)可能相交，但不可能符合相交投影规律 BHQ§七、直角投影定律：§｛两直线相交或交叉成直角，其投影可能为直角，也可能不是直角。
§｛两直线相交或交叉成直角，这两条直线又同时平行于一投影面，则在该投影面上的投影角为直角§｛两线条都不平行时，投影肯定不为直角 BHQ判断|下列直线互相垂直： BHQ判断|下列直线互相不垂直： BHQ例题求作交叉二直线（其中之一为垂直线）的公垂线 BHQ例题|例：已知：水平线AB，正平线CD,试过点S做他们的公垂线的平行线（SL）S,Sd,b,a,c,cdba BHQS,Sd,b,a,c,cdba例题L,L BHQ例题|例6 已知矩形ABCD的边AB为水平线，试完成图中矩形的两面投影 BHQ③③①①②② BHQ例题|完成等腰直角三角形ABC的两面投影（直角边BC在水平线MN上） BHQ BHQ§3-3§3-3平平面面|一、平面的表示：（1）不在同一直线上的三点2）一直线与一点3）两相交直线4）两平行直线5）任意的平面图形一）、平面的投影表示法|（二）、用迹线表示平面三角形、圆、其他） BHQ1 用平面的几何元素的投影表示用平面的几何元素的投影表示|1、、 三点三点 A、、B、、C|—a、、b、、c, a ’ 、、b’、、c，，,a”、、b”、、c”|2、、 一点一直线一点一直线——AB、、C|3、、 相交二直线相交二直线——AB、、AC|4、、 平行二直线平行二直线——AB与与CD|5、、 平面图形平面图形ABC BHQ|2．．用迹线（用迹线（trace）来表示平面）来表示平面空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。
水平迹线——PH（horizontal trace）正面迹线——PV（frontal trace）侧面迹线——PW（profile trace） BHQ|迹线的投影特点和画法：| 迹线是投影面内的直线画法：只画出与迹线本身重合的那个投影，并加以标记，其余两投影在相应的投影轴上，不画出并省略标记 BHQ二、平面的相对位置和投影特征：|（一）、 一般位置面（（1））一般位置平面在三个投影面上的投影均为类似形2））在投影图上不能直接反映空间平面的实形和投影面所成的二面角与三投影面均倾斜α,β,γα----坡度 BHQ BHQ BHQ|(二)、 投影面垂直面|垂直于某一个投影面，分：|铅垂面（vertical plane）、|正垂面（horizontal-profile plane）、侧垂面（frontal horizontal plane），反映α、β、γ积聚投影可用迹线PH或PH表示 BHQ BHQ|(三)、 投影面平行面|平行于某一个投影面（必然垂直于另外两个投影面），分：|水平面（horizontal plane）|正平面（frontal plane）|侧平面（profile plane） BHQ BHQ|三、平面在单面投影体系中的投影：|四、 平面上的直线与点：|平面上的点和线平面上的点和线|点在面上，点在面内的线上。
点在面上，点在面内的线上反之亦然反之亦然直线在平面上，直线过面内二直线在平面上，直线过面内二已知点或过面内一点且平行于已知点或过面内一点且平行于面内一直线反之亦然面内一直线反之亦然 BHQ BHQ|１ △ABC,E∈AB,F∈AC,则EF∈平面ABC?|2 CD∥EF,则CD∈平面ABC？ ——一点一方向|3 给定M(m,m’), △ABC, 判断M∈平面ABC?|4 给定△ABC和k’，且K∈平面ABC,求k例题 BHQ|5 补全平面图形的正面投影 BHQ BHQ例题6 给定△ABC，在其上作一条水平线 BHQ|五、 平面上的投影面平行线： BHQ|六、 平面上的最大斜度线：|给定平面内垂直于该平面内投影面平行线的直线称为该平面的最大斜最大斜度线度线其中，垂直于水平线的直线称为对H面的最大斜度线，垂直于正平线的直线称为对V面的最大斜度线，垂直于侧平线的直线称为对W面的最大斜度线对H面的最大斜度线也称最大坡度线（一小球在坡面上的自由滚动路线） BHQ例题例9. 已知直线EF是某一平面对H面的最大斜度线,求该平面的βe ,f ,f e BHQ 直线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面相对位置实例应用相对位置实例应用 aa′b′be′c′d′decfg2:给出一个矩形相邻两边AB、BC的V面投影及其中一边AB的H面投影，试完成矩形的投影图。
fg1:已知正三棱柱的底面⊿ABC的投影及棱线的实长为25，求作正三棱柱的投影图a′b′c′bcagg′h′hii ′j1jj ′ 。