精选优质文档-----倾情为你奉上三角形内周长最短的内接三角形证明：在△ABC的每条边上各取一点D、E、F，△DEF称为△ABC的内接三角形试在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，求周长最短的三角形证明：可将此题分三步来做（1）设D是BC上固定点，求此时的周长最短的内接三角形 作D关于AB、AC的对称点D1、D2，连D1D2交AB、AC于E、F，则△DEF为所求实际上，对于△ABC的任一内接△DE′F′都有 DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2 ≥D1D2=D1E+EF+FD2 =DE＋EF＋FD 就是△DEF的周长≤△DEF的周长 因此，我们只要对于每一个BC上的点D，都找出相应于该点的周长最短的内接三角形DEF，在这些三角形中找出周长最短的一个就行2）由于 AD1=AD，AD2=AD，故△AD1D2是等腰三角形又由于∠1=∠2，∠3=∠4，故△AD1D2的顶角∠D1AD2=2∠BAC为定值，因此，只有当其腰AD1最短时，D1D2最短此时必有AD最短从而当 AD为△ABC的高时，内接三角形DEF的周长最短 （3）当AD为△ABC的高时，由前面三角形垂足三角形性质，可证△ABC的内接三角形中，以其垂足三角形DEF的周长最短。
证毕 其实还可以证明△ABC的垂心H是△DEF的内心 由∠BEA=∠BDA=90，知B、D、E、A共圆，于是∠CDE=∠BAC同样，由A、F、D、C共圆，可知∠BDF=∠BAC，于是∠CDE=∠BDF从而可知DA平分∠EDF 同理FC平分∠DFE，EB平分∠DEF故H是△DEF的内心 专心---专注---专业。
