精选优质文档-----倾情为你奉上第五章 常微分方程（简记ODE）本章主要知识点l 可分离变量的ODEl 一阶线性非齐次常微分方程及推广l 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程l 一些特殊类方程 一、可分离变量的ODE1．基本型的解法基本型：基本解法： 例5.1． 解：通解为： 将得： 得 例5.2． 解：，得：例5.3．解：，得：例5.4．已知满足，求解：由知方程两边对求导得，分离变量求得，将代入得，2．可转化的可分离变量的齐次方程方法：令例5.5．解：令 ，将代入即可例5.6．解： ，令 即，，将代入即可二、一阶线性齐次方程（ODE）1．基本型公式公式：注：应用此公式要注意：不定积分不带C；基本型又称标准型例5.7．解：，其中由公式得，例5.8．解：，将代入得，，2．Bernoulli方程方法：令 ，方程可简化为 例5.9．解：令 ，则，得 ， 故，例5.10．解：令，代入即得： 即三、二阶常系数线性ODE1．齐次方程，其中为常数求解步骤：1）特征方程 ，求根。
2） 互异实根，， ，； ，其中为任意实数例5.11．解：得=4，-1，（其中为任意实数）例5.12．解：，例5.13．解：，例5.14．解：，， 2．非齐次方程其中，表示次多项式解结构：齐次方程通解特解特解形式设定如下： （1）识别；（2）计算，和特征根相等个数，3）特解可设为，其中为次多项式注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成例5.15．解：（１），，，齐次通解（２），，，又设，代入原方程得，例5.16．解：（１），（２），，，可设计算得： 代入原方程得，，例5.17．解：（１），（２）的特解，，，，又设代入原方程得解得；（3）的特解 可设，代入得，D＝， 综合得例5.18．设其中为连续函数，求的具体表达式解：原式两边求导得：再求导得：，即且（1） （2）设特解为代入原方程得 由条件得，四、特殊类方程（1）,等 方法：直接积分例5.19．解： 积分， 再积分，（2） 不显含 方法：令，则，则得到，降为一阶方程例5.20．解：令 ， ， 如果，则， 或分离积分法 如果，那么 （其包含在上述解之中）方程通解 （其中,为任意实数）。
单元练习题51．下列微分方程哪一个是线性的（ ）(A) (B) (C) (D) 2．方程，它是 阶微分方程3．方程的通解是 4．方程的特解可设为 5．求解下列常微分方程：6．求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于，并且曲线通过原点7．设曲线上任一点处切线与直线垂直，求这个曲线的方程8．一链条挂在一个无摩擦的钉上，假定运动开始时，链条一边垂下8m，另一边垂下10m，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9．设，为连续函数10．设处处可导，且并对任意实数x和y有 求.11．有连结A(0,1)，B(1,0)两点的一条凸曲线，它位于AB弦的上方P(x,y)为该曲线上的任一点已知该曲线弧与AP之间的面积为求该曲线方程历年真考题1．（2001）微分方程的通解为： 2．（2001）求微分方程，满足初始条件的特解3．（2002）微分方程的通解是（ ）A. B. C. D. 4．（2002）设满足微分方程，且，则 。
5．（2002）求，满足的解6．（2003）满足的解是（ ）A. B. C. D. 7．（2003）解微分方程的通解8．（2004）微分方程的特解的形式应为 A. B. C. D. 9．（2004）设函数可导，且满足方程，求10．（2005）求微分方程满足初始条件的特解本章测试题1．微分方程的阶数 2．的通解是 3． 的特解 形如 4．微分方程的通解是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5． 6． 7．（1）（2）8．设为连续函数且满足9．已知是的解 （1）求p,q （2）写出该方程的通解；并求满足条件的特解单元练习题5答案1． C 2．二阶 3． 4．5. (1)解： (2) (3)令，即 (4) (5) ， 将代入， （6） 令 ， ， 。
即 ，为任意常数（7）令 若，即 （不合定解条件） 若， ，将，，代入，代入，得，即（8）解：（1）齐次方程通解 ，，又设 代入原方程得 得到：9）解：（1）齐次方程通解2） ，可设，得到，6．解： 且，即， ， ，由 得所以 7．设原曲线的方程为 则 即 8．设左边绳x处在t时刻滑过钉子，此时， 且满足定解条件 ，解得：令得到 解得：9．10．令得f(0)=0 ＝即，解得11．设曲线方程为，则梯形OAPQ的面积，依题意得：，两边对x求导得，解得本章测试答案1. 一阶 2. 3. 4.A5.，，，设，，原方程解为6．（1）（2）设，代入得，，，7． (1)令则，，（2）令，积分得，，，积分，或，其中为任何实数8．求导得：，解得9．特征根，则特征方程为，方程为 故有 通解； 特解 专心---专注---专业。