圆的完美演绎一、学习目标1．掌握圆的定义，圆的对称性，确定圆的条件，以及圆周角的有关知识；2．会利用以上这些基础知识解决问题；二、典型例题题型一、圆的定义例题1．在平面直角坐标系中，⊙O的直径为10，若圆心O为坐标原点，则点P（－8，6）与⊙O的位置关系是 （ ）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O内 D．无法确定【题小结】：借题发挥．菱形ABCD中，AB＝4，AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，以O为圆心，以3为半径作⊙O，则A、B、C、D四个点在⊙O上的个数为 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4（例题2）题型二、圆的中心对称性例题2．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，那么∠COE的度数为 度．【题小结】： 借题发挥．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：OD＝OE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．题型三、圆的轴对称性例题3．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，AC＝2，则O到AC的距离为（ ）A．1 B．2 C． D．2（例题3） （借题发挥1） 【题小结】： 借题发挥：1．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为 （ ）A． B． C．1 D．22．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由；题型四、确定圆的条件例题4．已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为 （ ）A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）【题小结】： 借题发挥2借题发挥：1．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为 cm．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝2，则⊙O的直径为 ．（例题5）题型四、圆周角例题5．如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为 （ ）A．14° B．28° C．42° D．56°【题小结】： 借题发挥：1．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．（1）求证：AB＝AP；（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．三、能力提升1．若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为 （ ）A．a＜－1 B．a＞3 C．－1＜a＜3 D．a≥－1且a≠02．下列语句，错误的是 （ ）A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为 （ ）A．100° B．110° C．120° D．130°（第3题） （第4题） （第6题） 4．如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为 ．5．⊙O的半径为6，AB为圆O的弦，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点的个数为_________．6．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为 ．7．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．8．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．9．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，若AB＝AD，求∠ACB的度数；（2）如图2，连接AC，若AD＝8，AB＝6，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．10．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．（1）求⊙O的面积；（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，求出CD的长．参考答案：1．C； 2．B； 3．C； 4．； 5．4； 6．47．设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60，∴AM＝30，且OM＝OP－PM＝（x－18），在Rt△AOM中，由勾股定理可得x2＝（x－18）2＋302，解得x＝34，∴ON＝30，在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝16，∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．8．（1），连接OB、OC，∵BD＝6，DC＝4，∴BC＝10，由圆周角定理∠BOC＝90°，∴OB＝5；（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴BF＝FC＝5，∴DF＝1，∵∠BOC＝90°，BF＝FC，∴OF＝BC＝5，∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，∴四边形OFDE为矩形，∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，在Rt△AOE中，AE＝7，∴AD＝AE＋DE＝12．9．（1）连接BD，∵∠DAB＝90°，∴BD为直径，∵AD＝AB，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ADB＝45°；（2）作BH⊥AC于H，∵∠DAB＝90°，∴BD为直径，BD＝10，∴∠BCD＝90°，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠BAC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴△CDB为等腰直角三角形，∴BC＝BD＝5，在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝3，在Rt△BCH中，CH＝4，∴AC＝7．10．（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴⊙O的面积＝π×52＝25π．（2）作直径DD′⊥AB，BH⊥CD于H，如图，则＝，∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB为等腰直角三角形，∴DB＝AB＝5，易得△BCH为等腰直角三角形，∴CH＝BH＝BC＝3，在Rt△BDH中，DH＝4，∴CD＝CH＋DH＝3＋4＝7，∵DD′是⊙O的直径，∴∠DCD′＝90°，∴CD′＝，综上所述，CD的长为或7．第6页（共6页）。
