精选优质文档-----倾情为你奉上3、一次函数与全等三角形综合 题型切片题型切片（两个）对应题目题型目标一次函数与全等三角形的综合例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；一次函数与面积综合例5，例6，练习4，练习5．题型一：一次函数与全等三角形综合思路导航几种全等模型的回顾：图1 图2 图3 图4 图5图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将绕点逆时针旋转90得到，此时可得结论：均为等腰直角三角形；.图2中图3、图4为“三垂直”全等模型，其中为等腰直角三角形，，三点共线，则有，图3中，图4中图5中，，延长到使得，则有结论，若，则有例题精讲【引例】 平面直角坐标系内有两点和，点在直线上运动．⑴ 若点横坐标为，求以直线为图象的函数解析式（直接写出结论）；⑵ 若点在第四象限，作直线于，直线于，求证：；⑶ 若点在第一象限，仍作直线的垂线段、，试探究线段、、所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明． （实验中学单元测试）【解析】 ⑴ 设直线函数解析式为 当为时，，∴的坐标为∵直线过原点，∴解析式为⑵ 如图1，由题意可证∴，，∴⑶ 如图2，证明 可得结论 图1 图2典题精练【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点，点在轴上，作，垂足为（点段上，且点与点不重合），直线与轴交于点，若．⑴ 求点的坐标；⑵ 设长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【解析】 ⑴ 如图，由可知∴点坐标为⑵ 由⑴可知，∴，，的取值范围是 【例2】 已知：如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，为轴上点下方一点，，以为边作等腰直角三角形，其中，点落在第四象限．⑴ 求直线的解析式；⑵ 用的代数式表示点的坐标；⑶ 若直线与轴交于点，判断点的坐标是否随的变化而变化，写出你的结论并说明理由． （西城期末）【解析】 ⑴ ⑵ 作轴，交轴于，由此可知⑶ 由⑵中的全等可知，，∴，可得 ∴点坐标不随的变化而变化.【点评】 此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，而点坐标要根据其所在象限判断正负.【例3】 如图1，直线与轴交于点，与直线交于轴上一点，且与轴的交点为．⑴ 求证：⑵ 如图2，过轴上一点，作于，交轴于点，交于点，求点的坐标；⑶ 如图3，将沿轴向左平移，边与轴交于点（不同于和两点），过 点作一直线与的延长线交于点，与轴交于点，且CP=BQ.在平移的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度．若变化，确定其变化范围．【解析】 ⑴ 由题意得，，又∵ ∴⑵ 由题意得，∴,∴∴解析式为 由 解得 ∴⑶ 不变， 如图过作交于，可知，从而，∴，又∴【例4】 如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足． ⑴求直线AB的解析式；⑵若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；⑶过A点的直线y=kx-2k交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值．【解析】 ⑴y=⑵易证阴影部分三角形全等，得到M（3，3）故而m=1⑶过N点做直线垂直于y轴，交PM于G点，另直线NM与坐标轴交点分别为O、I（如图所示），连接IG并做MF⊥x轴于F，易知N、G两点横坐标分别为和1，将其分别代入MN、MP的解析式中，求得两点坐标为N（，）G（1，），易证△NHP ≌△GHP，∴NP=GP易求I（1，0），∴IG⊥x轴易证△IGA≌△FMA，∴MA=AG∴题型二：一次函数与面积综合思路导航解决平面直角坐标系中的图形面积问题通常可采用的方法有：1. 公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；2. 割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；3. 容斥法；4. 等积变换法：①平行线法：构造同底等高；②直角三角形：；5. 铅垂线法：如右图所示，称为铅垂高， 称为水平宽．必要时需分类讨论． 典题精练【例5】 已知：平面直角坐标系中，直线与直线交于点．⑴求直线的解析式；⑵若直线与另一条直线交于点，且点的横坐标为，求的面积． （西城期末试题）【解析】 ⑴∵点在直线上，∴，∴ ⑵ 解法一：作轴于M，轴于N（如上图）∵点B在直线y=2x上，且点B的横坐标为．∴点B的坐标为B（，）∵ ∴ 解法二：设直线与x轴交于点C（如下图）．∵点B在直线y=2x上，且点B的横坐标为．∴点B的坐标为（，）∵直线经过点A（，4）和点B（，），∴， ∴令y=0．可得∴点C的坐标为 ∴． 【教师备选】如图所示，直线OP经过点P（4，），过x轴上的点1、3、5、7、9、11分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为、、，则关于n的函数关系式是________．【解析】 ．真题赏析【例6】 已知：一次函数的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（a，1）．⑴求a的值及正比例函数y=kx的解析式；⑵点P在坐标轴上（不与点O重合），若PA=OA，直接写出P点的坐标；⑶直线x=m与一次函数的图象交于点B，与正比例函数图象交于点C，若△ABC的面积记为S，求S关于m的函数关系式（写出自变量的取值范围）．（2013西城期末）【解析】 ⑴∵一次函数的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（a，1），∴ ∴a=﹣4，即A（﹣4，1）．∴﹣4k=1 解得．∴正比例函数的解析式为；⑵如图1，P1（﹣8，0）或P2（0，2）；⑶依题意，得点B的坐标为（m，），点C的坐标为（m，）．作AH⊥BC于点H，H的坐标为（m，1）．以下分两种情况：①当m＜﹣4时， =．AH=．则S△ABC=BC∙AH ∴S=；②当m＞时，．AH=m+4．则S△ABC=BC∙AH =（）（4+m）∴S=；综上所述，．【教师备选】已知四条直线，，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值．【解析】 ∵，，x=1交于ABCDEF∴A（，3），B（,-1），C（1，-1），D（1，3），E（，3），F（，-1）① ∴m=－2 ② ∴m=1综上说述，或m=1． 思维拓展训练(选讲）训练1. 如图，为正三角形，点的坐标为，过点作直线交于，交于，且与的面积相等，求直线的解析式. 【解析】 由与的面积相等可知，.∵,设直线的解析式为，∴，∴∴直线的解析式为：又的解析式为：，故点的坐标满足下式：，故故直线的解析式为：.训练2. 在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点.点为轴上一点，且.⑴ 求的值；⑵ 求线段的长；⑶ 当点在直线上（点与点不重合），且，求点的坐标.（备用图） (海淀期末试题)【解析】 ⑴ ∵直线经过点，∴.∴.⑵ ∵直线交轴于点，∴点的坐标为.∴.∵，∴.∵点的坐标为，∴点的坐标为或.∴或.⑶ ①当点的坐标为时，如图所示.取点，连接并延长，交直线于点.∵，于，∴为的垂直平分线.∴.∴.又∵，∴.设直线的解析式为.∵直线经过点，∴.∴.∴直线的解析式为.解方程组得 ∴点的坐标为.②当点的坐标为时，如图所示.取点，连接，交直线于点.同①的方法，可得，直线的解析式为.解方程组得∴点的坐标为.综上所述，点的坐标为或.训练3. 已知：直线：与直线：（k是正整数）及x轴围成的三角形的面积为．⑴ 求证：无论k取何值，直线与的交点均为定点；⑵ 求的值．（西城期末试题）【解析】 ⑴ 联立的解析式，求得交点坐标为，∴交点为定点.⑵ 设直线分别与轴交于，两点，则，∴ ∴ 训练4. 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，且是等腰直角三角形，点与点关于轴对称，过点的一条直线绕点旋转，交轴于点，交直线于点，且点在第二象限内.⑴ 求点坐标及直线的解析式；⑵ 设的面积为，试用表示的面积. （朝阳期末试题）【解析】 ⑴ ∵是等腰直角三角形且，∴ ∴过点、的直线的解析式为 ⑵ ∵点与点关于轴对称，∴又点在直线上，则 设过、两点的直线的解析式为∵在直线上，∴. ∴,∵点在直线上，∴,解得.∴点的坐标为 ∵点在第二象限内，∴①当时，如图. ②当时，如图. 综上所述， 复习巩固题型一 一次函数与全等三角形综合 巩固练习【练习1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点，点在轴上，点坐标为.作，垂足为（点段上，且点与点不重合），直线与轴交于点，．第一象限内有一点，坐标为，连接，，求证：.【解析】 如图，连接，过作于，可知由可知又∵，∴，∴又由可得，∴∴ 【练习2】 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在轴上 ，点在上，且满足、分别平分、．⑴ 请你判断此时线段与是否相等，并证明你的结论；⑵ 已知，直接写出线段的长． 【解析】 ⑴ 相等，证明如下如上右图，在上取点，使，连接，可证，∴由，、平分与可得从而可知由此，，∴∴⑵ ∵，∴，∴由⑵可知，∴．【练习3】 如图，已知直线OA的解析式为y=x，直线垂直x轴于点，点的坐标为，直线关于直线的对称直线为交轴于点．⑴ 写出点及点的坐标；⑵ 如图，直线交轴于点，且的面积为1，求点的坐标；⑶ 若点为⑵中所求，作于点，交于点，作于点，求证：，并直接写出点的坐标．【解析】 ⑴ , ⑵ ∵于点，，，∴．∴∴∴ ⑶ 由直线的解析式为，可知．又，∴．∵直线关于直线的对称直线为，∴，．∴．∴．在中，，∴．∴在与中，∴∴又由可求得题型二 一次函数与面积的综合 巩固练习【练习4】 ⑴如图，点A、B、C在一次函数的图象上，它。
