逻辑学（第二版）第五章 谓词逻辑的自然演绎系统杜国平 教授马克思主义理论研究和建设工程重点教材授课内容：授课内容：1.目标要旨2.注意事项3.总体框架4.主要内容5.重点难点6.难点串讲7.案例补充授课内容：授课内容：1.1.目标要旨目标要旨2.注意事项3.总体框架4.主要内容5.重点难点6.难点串讲7.案例补充1.目标要旨 通过谓词逻辑自然演绎系统的知识传授和技术训练，使得学生掌握基本的谓词逻辑推理知识，获得谓词逻辑推理的技术训练，从而提高学生的逻辑思维能力授课内容：授课内容：1.目标要旨2.2.注意事项注意事项3.总体框架4.主要内容5.重点难点6.难点串讲7.案例补充2.注意事项 1.1 要阐述清楚推理规则背后的直观思想；1.2 要结合具体实例来进行阐述，举例要自然、具体，不要太抽象可以举以正整数、实数为论域或者以人为论域的例子，这样比较直观，学生也容易理解授课内容：授课内容：1.目标要旨2.注意事项3.3.总体框架总体框架4.主要内容5.重点难点6.难点串讲7.案例补充3.总体框架 1.1 谓词逻辑自然推理系统；1.2 带等词的谓词逻辑自然推理系统；1.3 推理实例分析授课内容：授课内容：1.目标要旨2.注意事项3.总体框架4.4.主要内容主要内容5.重点难点6.难点串讲7.案例补充4.主要内容 (1)自然推理系统的6条推理规则：全称量词消去规则，全称量词引入规则，存在量词消去规则，存在量词引入规则，等词消去规则，等词引入规则。
2)运用6条规则进行推理；(3)能够运用推理技术对推理实例进行分析授课内容：授课内容：1.目标要旨2.注意事项3.总体框架4.主要内容5.5.重点难点重点难点6.难点串讲7.案例补充5.重点难点 (1)6条推理规则的附加条件2)运用规则进行推理的技巧；(3)运用推理技术进行推理实例分析授课内容：授课内容：1.目标要旨2.注意事项3.总体框架4.主要内容5.重点难点6.6.难点串讲难点串讲7.案例补充6.难点串讲 1.1 谓词逻辑自然推理系统 1.2 带等词的谓词逻辑自然推理系统6.难点串讲 1.1 谓词逻辑自然推理系统 1.2 带等词的谓词逻辑自然推理系统 1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 其中包括4条推理规则 1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 其中包括4条推理规则 因为经过多人修改，因为经过多人修改，逻辑学逻辑学20172017年年7 7月版教材中推理规月版教材中推理规则的表述不够严谨本则的表述不够严谨本PPTPPT中推理规则的表述与中推理规则的表述与逻辑学逻辑学20172017年年7 7月版教材不尽一致，在新版教材中将对推理规则和相关证明作适月版教材不尽一致，在新版教材中将对推理规则和相关证明作适当修正，谨向各位老师致歉！当修正，谨向各位老师致歉！1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)。
1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)其中t是一个项，并且t对A中的变元x可自由代入全称量词消去规则的直观含义是：如果所有个体都具有某个性质，那么“t”所代表的个体也具有该性质1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例例1 1 x(AB),A(t/x)B(t/x)，其中t对A和B中x可自由代入1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例例1 1 x(AB),A(t/x)B(t/x)，其中t对A和B中x可自由代入这实际上是单称三段论的这实际上是单称三段论的AAAAAA式1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例例1 1 x(AB),A(t/x)B(t/x)，其中t对A和B中x可自由代入证明：1 x(AB)pre2 A(t/x)pre3 A(t/x)B(t/x)E:14 B(t/x)E:2,3 1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)。
在运用全称量词消去规则时，要注意限制条件：t对A中x可自由代入不满足这个限制条件时，不能应用这条规则1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：1 xyRxy2 yRyy 1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：1 xyRxy2 yRyy 第2步得到的公式yRyy=yRxy(y/x)，但y对yRxy中的x不是代入自由的从1不能得到21.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：1 xyRxy2 yRyy 例如：考虑论域D=a,b，R的解释为(a,b),(b,a)在这个模型上1是真的，因为对D中每个个体，都有另一个个体与它有R关系但2是假的，因为D中每个个体都与自身没有R关系1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)。
例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：1 xyRxy2 yRyy 再如：考虑论域D 为正整数集合N+，Rxy解释为y大于x在这个模型上1表示的是任一正整数都存在一个比它大的正整数，这是真的2表示的是存在一个正整数它比自身大，这是假的1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：1 xyRxy2 yRyy 再如：考虑论域D 为所有人的集合，Rxy解释为y是x的母亲在这个模型上1表示的是任何一个人都有一个母亲，这是真的2表示的是存在一个人，她是自己的母亲，这显然是假的1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：1 xyRxy2 yRyy 为什么？为什么？1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：1 xyRxy2 yRyy 因为xyRxy中的x表示的是论域中的任一个体，而在第2步运用全称消去由yRxy(y/x)得到yRyy时，其中的y对yRxy中的x不是代入自由的。
即以y代入yRxy中的x时，由于y被量词约束，使得代入后的y并不是论域中的任一个体，失去了原意1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：1 xyRxy2 yRyy 其中其中t t是一个项，并且是一个项，并且t t对对A A中的变元中的变元x x可自由代入可自由代入1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 一、全称量词消去规则（简记为E）如果xA，则A(t/x)例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：1 xyRxy2 yRyy 其中其中t t是一个项，并且是一个项，并且t t对对A A中的变元中的变元x x可自由代入可自由代入限制条件必不可少！限制条件必不可少！1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 二、全称量词引入规则（简记为I）如果A(c/x)，则xA1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 二、全称量词引入规则（简记为I）如果A(c/x)，则xA其中c是不受限制的新常元（用c表示），即c是不在前提集中出现的新常元1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统二、全称量词引入规则（简记为I）如果A(c/x)，则xA。
其中c是不受限制的新常元（用c表示），即c是不在前提集中出现的新常元全称引入规则的直观含义是：如果任意个体都具有性质A，那么所有对象都具有性质A这里用新常元不受限制就是为了使它能够代表任何个体1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统二、全称量词引入规则（简记为I）如果A(c/x)，则xA其中c是不受限制的新常元（用c表示），即c是不在前提集中出现的新常元如果a不是不受限制的新常元，推理就可能出现错误1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统二、全称量词引入规则（简记为I）如果A(c/x)，则xA其中c是不受限制的新常元（用c表示），即c是不在前提集中出现的新常元例如，以Pa为前提不能推出xPx构造这样一个模型：论域为所有正整数集合；P在论域上解释为所有偶数的集合；a解释为自然数“2”显然，“2是偶数”是真的，而“所有正整数都是偶数”是假的1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统二、全称量词引入规则（简记为I）如果A(c/x)，则xA其中c是不受限制的新常元（用c表示），即c是不在前提集中出现的新常元例2 xAyA(y/x)，其中y对A中x可自由代入1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统二、全称量词引入规则（简记为I）如果A(c/x)，则xA。
其中c是不受限制的新常元（用c表示），即c是不在前提集中出现的新常元例2 xAyA(y/x)，其中y对A中x可自由代入证明：1 xApre2 A(c/x)E:1 c3 yA(y/x)I:2 1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 二、全称量词引入规则（简记为I）例例3 3 x(AB)xAxB 1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 二、全称量词引入规则（简记为I）例例3 3 x(AB)xAxB证明：1 x(AB)pre2 xAhyp3 A(c/x)E:2 c4 x(AB)reit:15 A(c/x)B(c/x)E:46 B(c/x)E:3,57 xBI:68 xAxB I:2-7 1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统 三、存在量词消去规则（简记为E）：如果,A(c/x)B，则,xAB其中c是受限制的新常元（用c*表示），即c不在前提集和B中出现1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统三、存在量词消去规则（简记为E）：如果,A(c/x)B，则,xAB其中c是受限制的新常元（推理过程中用c*表示），即c不在前提集和B中出现存在量词消去规则的直观含义是：如果假定论域中有一个具有性质A的对象c，由此可以得出结论B，那么我们就可以得出：只要论域中存在个体具有性质A，就可以得出结论B。
在规则中我们用符号*表示所使用的常元c是受限制的，即这个c不能代表任意的个体，而只能代表论域中具有性质A的那个证据个体证据个体1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统三、存在量词消去规则（简记为E）：如果,A(c/x)B，则,xAB其中c是受限制的新常元（推理过程中用c*表示），即c不在前提集和B中出现注意：不能对受限制的新常元注意：不能对受限制的新常元c c进行全称引入例如，进行全称引入例如，如果如果c c是受限制的新常元，那么由是受限制的新常元，那么由A(c/x)A(c/x)推不出推不出xAxA1.1 谓词逻辑自然推理系统谓词逻辑自然推理系统三、存在量词消去规则（简记为E）：如果,A(c/x)B，则,xAB其中c是受限制的新常元（推理过程中用c*表示），即c不在前提集和B中出现例例9 9 x(SxPa),xSxPa证明：1 x(SxPa)pre2 xSxpre3 Schyp:c*4 x(SxPa)reit。