返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.1 隐 函 数返回返回返回返回四、隐函数求导数举例 一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析 三、隐函数定理返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页方程式所确定的函数方程式所确定的函数,通常通常称为隐函数称为隐函数例如：例如：一、隐函数概念显函数：显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数例如：的函数称为显函数例如：隐函数：隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个自变量与因变量之间的关系是由某一个返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则成立恒等式则成立恒等式有惟一确定的有惟一确定的与之对应与之对应,能使能使 且满足方程且满足方程(1),则称由方程则称由方程(1)确定了一个定义在确定了一个定义在 ,值域含于值域含于的隐函数的隐函数.如果把此隐函数记为如果把此隐函数记为 隐函数一般定义：隐函数一般定义：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页取值范围例如由方程可确定如下两取值范围例如由方程可确定如下两 个函数：个函数：注注2 不是任一方程不是任一方程 都能确定隐函数都能确定隐函数,例如例如 显然不能确定任何隐函数显然不能确定任何隐函数 注注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要 化为显函数上面把隐函数仍记为化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这，这 与它能否用显函数表示与它能否用显函数表示无关无关 注注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注5 在在2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.注注4 类似地可定义多元隐函数例如类似地可定义多元隐函数例如:由方程由方程 确定的隐函数确定的隐函数 由方程由方程 确定的隐函数确定的隐函数 等等等等.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、隐函数存在性条件分析 条件时，由方程条件时，由方程(1)能确定隐函数能确定隐函数 ,并使并使 下讨论下讨论问题问题：当函数：当函数 满足怎样一些满足怎样一些 该隐函数具有连续、可微等良好性质该隐函数具有连续、可微等良好性质?(a)把上述看作曲面把上述看作曲面 与坐标与坐标 平面的交线，故至少要求该交集非空，即平面的交线，故至少要求该交集非空，即 ，满足，满足 连续是合理的连续是合理的(b)为使为使 在在 连续，故要求连续，故要求 在点在点 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此可见，是一个重要条件由此可见，是一个重要条件点点 存在切线，而此切线是曲面存在切线，而此切线是曲面 在点在点 的切平面与的切平面与 的交线，故应要求的交线，故应要求 在在 (c)为使为使 在在 可导，即曲线在可导，即曲线在 点点 可微，且可微，且(d)在以上条件下，通过复合求导数在以上条件下，通过复合求导数,由由(1)得到得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、隐函数定理定理定理18.1(隐函数存在惟一性定理隐函数存在惟一性定理)设方程设方程(1)中中 的函数的函数 满足以下四个条件：满足以下四个条件：(i)在以在以 为内点的某区域为内点的某区域 上连续；上连续；(ii)(初始条件初始条件)；(iii)在在 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数 ；(iv)则有如下结论成立：则有如下结论成立：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 上连续上连续惟一地确定了一个隐函数惟一地确定了一个隐函数 它满足：它满足：,且当且当 时时,使得使得 证证 首先证明隐函数的存在与惟一性首先证明隐函数的存在与惟一性证明过程归结起来有以下四个步骤证明过程归结起来有以下四个步骤(见图见图181)：存在某邻域存在某邻域 ，在，在 内由方程内由方程(1)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(c)同号两边伸同号两边伸 (d)利用介值性利用介值性 (b)正、负上下分正、负上下分_+_0(a)一点正一点正,一片正一片正+图图 181返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(a)“一点正一点正,一片正一片正”由条件由条件(iv),不妨设不妨设 因为因为 连续，所以根据连续，所以根据 保号性，保号性，使得使得 (a)一点正一点正,一片正一片正+返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(b)正、负上下分正、负上下分_+_0(b)“正、负上下分正、负上下分”因因 故故 把把 看作看作 的函数，它在的函数，它在 上上 严格增，且连续严格增，且连续(据条件据条件(i)特别对于函数特别对于函数 由条由条 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为因为 关于关于 连续，故由连续，故由 (b)的结论，根据保号性，的结论，根据保号性，使得使得 (c)同号两边伸同号两边伸 (c)“同号两边伸同号两边伸”(d)“利用介值性利用介值性”因因 关于关于 连续连续,且严且严 格增，故由格增，故由(c)的结论，依据介值性定理的结论，依据介值性定理,存在惟存在惟 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(d)利用介值性利用介值性 满足满足一的一的 就证得存在惟一的隐函数就证得存在惟一的隐函数:由的任意性由的任意性,这这若记若记 则定理结论则定理结论 得证得证 下面再来证明上述隐函数的连续性下面再来证明上述隐函数的连续性:欲证上述欲证上述 在在 连续连续.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页类似于前面类似于前面(c)，使得使得由由 对对 严格增，而严格增，而 推知推知 .图图 182足够小，使得足够小，使得 如图如图 182 所示所示,取取返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 上处处连续上处处连续因此因此 在连续在连续.由的任意性由的任意性,便证得便证得 且当且当 时，有时，有 类似于前面类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有，由于隐函数惟一，故有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注1 定理定理 18.1 的条件的条件(i)(iv)仅是充分条件仅是充分条件,又又 是一组十分重要的条件是一组十分重要的条件.例如：例如：在点在点 虽虽 不满足条件不满足条件(iv)，但仍能确定惟一的隐函数，但仍能确定惟一的隐函数 (双纽线双纽线),在在 点点 同样不满足同样不满足条件条件(iv);如图如图183 所示所示,在该点无论多在该点无论多图图 183么小的邻域内么小的邻域内,确实确实 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，的作用的作用二则是在后面的定理二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性中它们还将起到实质性 注注3 读者必须注意读者必须注意,定理定理 18.1 是一个是一个局部性局部性的隐的隐 函数存在定理例如从以上双纽线图形看出函数存在定理例如从以上双纽线图形看出:除了除了 三点以外三点以外,曲线上其余各点处都曲线上其余各点处都 注注 2 条件条件(iii)、(iv)在证明中只是用来保证在邻在证明中只是用来保证在邻 域域 内内 关于为严格单调之所以采关于为严格单调之所以采 不能确定惟一的隐函数不能确定惟一的隐函数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页存在局部隐函数存在局部隐函数 (这不难用定理这不难用定理 18.1 加加 以检验，见后面第四段的例以检验，见后面第四段的例)注注4 在方程在方程 中中,与与 的地位是平等的地位是平等 的的.当条件当条件(iii)、(iv)改为改为 时，将存在局部的连续隐函数时，将存在局部的连续隐函数 连续连续,且且“”返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 18.2(隐函数可微性定理隐函数可微性定理)设函数设函数 满满 足定理足定理 18.1 中的条件中的条件(i)(iv),在在 内还存在连内还存在连 续的续的 .则由方程则由方程 所确定的隐所确定的隐 函数函数 在在 I 内有连续的导函数，且内有连续的导函数，且(注注:其中其中示于定理示于定理18.1 的证明的证明(d).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页使用微分中值定理使用微分中值定理,使得使得 证证 设则设则 由条件易知由条件易知 F 可微，并有可微，并有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页显然也是连续函数显然也是连续函数因因 都是连续函数都是连续函数,故故 时时并有并有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(3)注注1 当当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函存在二阶连续偏导数时，所得隐函 数也二阶可导应用两次复合求导法，得数也二阶可导应用两次复合求导法，得 将将(2)式代入上式，经整理后得到式代入上式，经整理后得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注2 利用公式利用公式(2),(3)求隐函数的极值求隐函数的极值:(a)求使求使 的点的点 ,即即 的解的解(b)在点在点 处因，而使处因，而使(3)式化简为式化简为 (4)(c)由极值判别法由极值判别法,当当 时时,隐函数隐函数 在在 取得极大值取得极大值(或极小值或极小值)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页设在以点设在以点 为内点的某区域为内点的某区域 上上,则存在某邻域则存在某邻域 在其内存在惟一的、连在其内存在惟一的、连 续可微的隐函数续可微的隐函数 ，且有，且有注注3 由方程由方程 (5)确定隐函数的相关定理简述如下：确定隐函数的相关定理简述如下：F 的所有一阶偏导数都连续，并满足的所有一阶偏导数都连续，并满足 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(6)更一般地，由方程更一般地，由方程 确定隐函数确定隐函数 的相关定理的相关定理,见教见教 材下册材下册 p.149 上的上的定理定理18.3,这里不再详述这里不再详述.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页各点处都能确定局部的隐函数各点处都能确定局部的隐函数例例1 讨论笛卡儿叶形线讨论笛卡儿叶形线(图图184)(7)所确定的隐函数所确定的隐函数 的存在的存在 性，并求其一阶、二阶导数性，并求其一阶、二阶导数 解解 令令 先求出在曲线先求出在曲线(7)上使上使 的点为的点为 .除此两点外除此两点外,方程方程(7)在其他在其他 图图 184四、隐函数求导数举例 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页然后再算出然后再算出:为了使用公式为了使用公式(3),先算出先算出:由公式由公式(2)求得求得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页平切线和垂直切线平切线和垂直切线类似于例类似于例1 的方法的方法,求出曲线上使求出曲线上使 的点为的点为 在几何上，它是两条曲线在几何上，它是两条曲线 和和的交点的交点(见图见图).容易验证容易验证 所以所以 隐函数在点隐函数在点 取得极大值取得极大值 以上讨论同时说明以上讨论同时说明,该曲线在点该曲线在点 和和 分别有水分别有水 例例2 试求由方程试求由方程 所确定的隐所确定的隐 函数函数 在点在点 处的全微分处的全微分 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解法解法 1(形式计算法形式计算法)对方程两边微分，得对方程两边微分，得将将 代入，又得代入，又得 解法解法 2(隐函数法隐函数法)设设 由于由于 上处处连续上处处连续,而而 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此在点因此在点 P 附近能惟一地确定连续可微的隐函数附近能惟一地确定连续可微的隐函数 且可求得它的偏导数如下：且可求得它的偏导数如下：以以 代入代入,便得到便得到 返回返回。