回归分析中的多重共线性问题 什么是多重共线性 多重共线性产生的后果 多重共线性的检验 多重共线性的补救措施多元线性回归分析(31)课件1第一节 什么是多重共线性 多重共线性的含义 产生多重共线性的背景 多元线性回归分析(31)课件2 所谓的多重共线性(Multi-Collinearity)，不仅包括完全的多重共线性，还包括不完全的多重共线性 对于解释变量 ，如果存在不全为0的 数 ，使得 则称解释变量 之间存在着完全的多重 共线性一、多重共线性的含义多元线性回归分析(31)课件3 当 时，表明在数据矩阵 中，至少有一个列向量可以用其余的列向量线性表示，则说明存在完全的多重共线性多元线性回归分析(31)课件4不完全的多重共线性 实际中，常见的情形是解释变量之间存在不完全的多重共线性 对对于解释变释变 量，存在不全为为0的数，使得 为为随机变变量这这表明解释变释变 量只是一种近似的线线性关系其中，多元线性回归分析(31)课件5 ，解释变量间毫无线性关系，变量间相互正交这时已不需要作多元回归，每个参数j都可以通过Y 对 Xj 的一元回归来估计回归模型中解释变量的关系 可能表现为三种情形：(1) ，解释变量间完全共线性。
此时模型参数将无法确定 ，解释变量间存在一定程度的线性关系实际中常遇到的情形2)(3) 多元线性回归分析(31)课件6 二、产生多重共线性的背景 多重共线性产生的背景主要有几种情形： 1.变量之间具有共同变化趋势 2.模型中包含滞后变量 3.利用截面数据建立模型也可能出现多重共线性 4.样本数据自身的原因 多元线性回归分析(31)课件7第二节 多重共线性产生的后果 完全多重共线性产生的后果 不完全多重共线性产生的后果多元线性回归分析(31)课件8一、完全多重共线性产生的后果1.参数的估计值不确定当解释变量完全线性相关时 OLS 估计式不确定 从偏回归系数意义看：在 和 完全共线性时，无法保持 不变，去单独考虑 对 的影响（ 和 的影响不可区分） 从OLS估计式看：可以证明此时2.参数估计值的方差无限大OLS估计式的方差成为无穷大： 多元线性回归分析(31)课件9如果存在完全共线性我们再引入一个任意非零常数回归系数却显然不同多元线性回归分析(31)课件10 下面再用模型参数说明完全多重共线性的后果对于上述二元线性回归模型：多元线性回归分析(31)课件11 二、不完全多重共线性产生的后果 如果模型中存在不完全的多重共线性，可以得到参数的估计值，但是对计量分析可能会产生一系列的影响。
1.参数估计值的方差增大 当 增大时 也增大 多元线性回归分析(31)课件122.对参数区间估计时，置信区间趋于变大3.假设检验容易作出错误的判断4.可能造成可决系数较高，但对各个参数单独的 t 检验却可能不显著，甚至可能使估计的回归系数符号相反，得出完全错误的结论 多元线性回归分析(31)课件13 第三节 多重共线性的检验 简单相关系数检验法 方差扩大（膨胀）因子法 直观判断法 逐步回归法多元线性回归分析(31)课件14一、简单相关系数检验法 含义：简单相关系数检验法是利用解释变量之间的线性相关程度去判断是否存在严重多重共线性的一种简便方法 判断规则：一般而言，如果每两个解释变量的简单相关系数(零阶相关系数)比较高，例如大于0.8，则可认为存在着较严重的多重共线性多元线性回归分析(31)课件15多元线性回归分析(31)课件16 注意： 较高的简单相关系数只是多重共线性存在的充分条件，而不是必要条件特别是在多于两个解释变量的回归模型中，有时较低的简单相关系数也可能存在多重共线性因此并不能简单地依据相关系数进行多重共线性的准确判断多元线性回归分析(31)课件17 现在的统计分析软件一般采用容忍度和方差膨胀因子度量变量之间的共线性问题。
一般模型的共线性的容忍度（tolerance）与方差膨胀因子（Variance Inflation Factor，VIF）互为倒数方程膨胀因子也被译为方程扩大因子等简单地说，容忍度可以定义为 二、方差扩大（膨胀）因子法 这里 Rj 是参与回归的第j 个自变量与其它参与回归的自变量的复相关系数相应地，VIF 定义为多元线性回归分析(31)课件18统计统计 上可以证证明，解释变释变 量的参数估计计式的方差可表示为为 其中的是变变量(Variance Inflation Factor)，即的方差扩大因子 多元线性回归分析(31)课件19 如果不存在共线性，则 Rj=0，从而容忍度和VIF 都为1一般用VIF 判断共线性的强度严格地说，要求VIF10不过，这一点在实际中有时很难做到因此，在具体操作中应该将VIF 与P 值或者t 值结合起来进行综合判断 举例说来，假如我们要计算三元线性模型多元线性回归分析(31)课件20如何计算VIF？ 借助矩阵知识，可以非常方便地算出 VIF 值首先对m 个自变量分别进行标准化，表示为矩阵nm 矩阵X*于是变量间简单相关系数的矩阵可以表示为：多元线性回归分析(31)课件21经验规则方差膨胀因子越大，表明解释变量之间的多重共性越严重。
反过来，方差膨胀因子越接近于1，多重共线性越弱经验表明，方差膨胀因子10时，说明解释变量与其余解释变量之间有严重的多重共线性，且这种多重共线性可能会过度地影响最小二乘估计多元线性回归分析(31)课件22三、直观判断法 1. 当增加或剔除一个解释变量，或者改变一个观测值时，回归参数的估计值发生较大变化，回归方程可能存在严重的多重共线性 2. 从定性分析认为，一些重要的解释变量的回归系数的标准误差较大，在回归方程中没有通过显著性检验时，可初步判断可能存在严重的多重共线性多元线性回归分析(31)课件233. 有些解释变量的回归系数所带正负号与定性分析结果违背时，很可能存在多重共线性4. 解释变量的相关矩阵中，自变量之间的相关系数较大时，可能会存在多重共线性问题多元线性回归分析(31)课件24四、逐步回归检测法 逐步回归的基本思想 将变量逐个的引入模型，每引入一个解释变量后，都要进行检验，并对已经选入的解释变量逐个进行t 检验，当原来引入的解释变量由于后面解释变量的引入而变得不再显著时，则将其剔除以确保每次引入新的变量之前回归方程中只包含显著的变量 在逐步回归中，高度相关的解释变量，在引入时会被剔除。
因而也是一种检测多重共线性的有效方法多元线性回归分析(31)课件25第四节 多重共线性的补救措施 修正多重共线性的经验方法 逐步回归法多元线性回归分析(31)课件26 1. 增大样本容量如果样本容量增加，会减小回归参数的方差，标准误差也同样会减小因此尽可能地收集足够多的样本数据可以改进模型参数的估计问题：增加样本数据在实际计量分析中常面临许多困难一、修正多重共线性的经验方法多元线性回归分析(31)课件27多元线性回归分析(31)课件28 2. 剔除变量法把方差扩大因子最大者所对应的自变量首先剔除再重新建立回归方程，直至回归方程中不再存在严重的多重共线性注意: 若剔除了重要变量，可能引起模型的设定误差多元线性回归分析(31)课件29 3. 变换模型形式一般而言，差分后变量之间的相关性要比差分前弱得多，所以差分后的模型可能降低出现共线性的可能性，此时可直接估计差分方程问题：差分会丢失一些信息，差分模型的误差项可能存在序列相关，可能会违背经典线性回归模型的相关假设，在具体运用时要慎重多元线性回归分析(31)课件30 二、逐步回归法（1）用被解释变量对每一个所考虑的解释变量做简单回归2）以对被解释变量贡献最大的解释变量所对应的回归方程为基础，按对被解释变量贡献大小的顺序逐个引入其余的解释变量。
若新变量的引入改进了 和 检验，且回归参数的t 检验在统计上也是显著的，则在模型中保留该变量多元线性回归分析(31)课件31若新变量的引入未能改进 和 检验，且对其他回归参数估计值的t 检验也未带来什么影响，则认为该变量是多余变量若新变量的引入未能改进 和 检验，且显著地影响了其他回归参数估计值的数值或符号，同时本身的回归参数也通不过t 检验，说明出现了严重的多重共线性多元线性回归分析(31)课件32 第五节 案例分析一、研究的目的要求提出研究的问题为了规划中国未来国内旅游产业的发展，需要定量地分析影响中国国内旅游市场发展的主要因素二、模型设定及其估计影响因素分析与确定影响因素主要有国内旅游人数 ，城镇居民人均旅游支出 ，农村居民人均旅游支出 ，并以公路里程次 和铁路里程 作为相关基础设施的代表 理论模型的设定其中 ： 第 t 年全国国内旅游收入多元线性回归分析(31)课件33数据的收集与处理年份国内旅游收入Y（亿亿元）国内旅游人数X2（万人次）城镇镇居民人均旅游支出X3（元）农农村居民人均旅游支出X4 （元）公路里程 X5（万公里）铁铁路里程X6（万公里）19941023.552400414.754.9111.785.9019951375.762900464.061.5115.705.9719961638.463900534.170.5118.586.4919972112.764400599.8145.7122.646.6019982391.269450607.0197.0127.856.6419992831.971900614.8249.5135.176.7420003175.574400678.6226.6140.276.8720013522.478400708.3212.7169.807.0120023878.487800739.7209.1176.527.1920033442.387000684.9200.0180.987.30数据来源:中国统计年鉴2004多元线性回归分析(31)课件34该模型，可决系数很高，F检验值173.3525,明显显著。
但是当时、不仅 、 系数的t检验不显著，而且 系数的符号与预期的相反，这表明很可能存在严重的多重共线性 OLS 法估计的结果多元线性回归分析(31)课件35计算各解释变量的相关系数 表明各解释变量间确实存在严重的多重共线性多元线性回归分析(31)课件36三、消除多重共线性采用逐步回归法检验和解决多重供线性问题分别作Y 对X2、X3、X4、X5、X6的一元回归 变变量X2X3X4X5X6参数估计值计值0.08429.052311.667334.3324 2014.146t 统计统计 量8.665913.15985.19676.46758.74870.90370.95580.77150.83940.9054的大小排序为：X3、X6、X2、X5、X4以X3为基础，顺次加入其他变量逐步回归，过程从略多元线性回归分析(31)课件37 最后消除多重共线性的结果 这说这说 明，在其他因素不变变的情况下，当城镇镇居民人均旅游支出 和农村居民人均旅游支出 分别增长1元时，国内旅游收入 将分别增长4.21亿元和3.22 亿元在其他因素不变的情况下，作为旅游设施的代表，公路里程 每增加1万公里时, 国内旅游收入 将增长13.63亿元。
四、回归结果的解释与分析t =（-8.2537) (3.9502) (4.6945) （3.0633） F=231.7958 DW=1.9520多元线性回归分析(31)课件38小结1.多重共线性是指各个解释变量之间有准确或近似准确的线性关系2.多重共线性的后果： 如果各个解释变量之间有完全的共线性，则它们的 回归系数是不确定的，并且它们的方差会无穷大 如果共线性是高度的但不完全的，回归系数可估计， 但有较大的标准误差回归系数不能准确地估计多元线性回归分析(31)课件39 3.诊断共线性的经验方法： (1) 表现为可决系数异常高而回归系数的t 检验不显著 (2) 变量之间的零阶或简单相关系数多个解释变量时，较低的零阶相关也可能出现多重共线性，需要检查偏相关系数 (4)如果 高而偏相关系数低。