雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才 教学目标教学目标 1、 学会从简单问题入手找规律 2、 能够利用数论、几何等专题解周期性问题 3、 归纳找规律问题的解题思想 知识点拨知识点拨 一、知识点说明一、知识点说明 同学们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候，经常从观察具体事物入手， 通过分析、猜测、验证，找出这类事物的一般属性这种“从特殊到一般的推理方法”，叫做归 纳法，或者称之为找规律，很多人也称之为周期问题 二、考点总结二、考点总结 找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现 这是为了考验我们是否能在最短时间里找到数字间的奥秘，即是在考察我们的数感和归纳 能力，这种能力不是与生俱来的，是和我们日常积累分不开的，正所谓见多识广吧所以找 规律这类题目，需要同学们养成细观察、勤思考的习惯，不断提高归纳能力 找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密 的逻辑推理能力. 三、提炼思想三、提炼思想 找规律是奥数里最重要的思想之一，很多难题都是靠这种方法解决的，要求我们能够 观察数列或数表中每一个数自身的特征（如奇偶性，整除性，是否为质或者合数等等）、相邻 数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列，等比数列，斐波那契数列，复合数列等等）， 有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列等等，所 以同学们要好好的体会这种思想方法，争取在奥数的学习中能够克服难题，取得进步。
例题精讲例题精讲 模块一、数论部分模块一、数论部分 【【例例 1】】下面各列数中都有一个下面各列数中都有一个““与众不同与众不同””的数，请将它们找出来：的数，请将它们找出来： （（1）） 3，，5，，7，，11，，15，，19，，23，，………… （（2）） 6，，12，，3，，27，，21，，10，，15，，30，，………… （（3）） 2，，5，，10，，16，，22，，28，，32，，38，，24，，………… （（4）） 2，，3，，5，，8，，12，，16，，23，，30，，………… 第一讲：规律性问题第一讲：规律性问题 雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才 【【【【这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16因为：（1） 除了 15 其余都是质 数；（2）除了 10 其余都是 3 的倍数；（3） 除了 5 其余都是偶数；（4）相邻两 数之间的差依次是 1，2，3，4，5，6，……，成等差数列注：本题答案不唯一， 只要学生说明白道理就算正确 【【例例 2】】在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数字之和的个位数在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数字之和的个位数 字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是 2，，0，，0，，8 ？？ 1，，9，，9，，9，，8，，5，，1，，3，，7，，6，，7，，3，，3，，9，，2，，7，，1，，9，，9，，6，，………… 【【【【运用奇偶性进行分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇， 奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，……四个奇数一个偶 数循环出现，而 2，0，0，8 均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。
【【例例 3】】数列数列 1，，1，，2，，3，，5，，8，，13，，21，，34，，…………一共一共 2005 项，其中共有多少个是项，其中共有多少个是 6 的倍数？的倍数？ 这串数从第三个起，每个数都是它前面两个数的和，所以这是一个菲波那契数列，这串数 除以 6 的余数依次是： 1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2 ，3，……，注意：计算余数的时候不用把原数计算出来，可以直接用菲波那契数列的规律 计算余数，如前两个数是 5，2，则下一个数是（5+2）÷6 的余数为 1 余数数列从第一 个起，每 24 个循环一次，每一次循环中有两个数是 6 的倍数，而 2005 =24×83＋13，所 以这 2005 个数中一共有 2×83＋1=167 个是 6 的倍数 模块二、几何部分模块二、几何部分 【【例例 4】】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带““？？””的空格处应画什么的空格处应画什么 样的图形？样的图形？ 【【解析解析】】横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个 数不变.因为圆形的个数是按 4、3、？、1 的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。
【【例例 5】】观察下面的图形，按规律在观察下面的图形，按规律在““？？””处填上适当的图形处填上适当的图形. （ 5（（ 4（（ 3（（ 2（ （ 1（ （ 【【解析解析】】本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增 多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填 七个黑三角形. 【【巩固巩固】】 观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列 雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才 【【解析解析】】观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两 只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一 幅图应该是：→四只脚、一条尾、背上五个点.即： 【【巩固巩固】】 观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列. 【【解析解析】】第一格有 8 个圆圈，第二格有 4 个圆圈，第三格有 2 个圆圈，第四格有 1 个圆圈， 第五格有半个圆圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第 六格的图应该是第五格图的一半，即： 练习练习 1.1.观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带““？？””的空格处应画什么样的空格处应画什么样 的图形？的图形？ 【【解析解析】】（方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图 形的总个数不变.因为圆形的个数是按 5、4、3、？、1 的顺序变化的，显然“？”处应 填一个圆形. (方法二)竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照 5、4、？、2、1 的顺序变化，也可以看出 “？”处应是圆形. 练习练习 2.2.观察下面由点组成的图形（点群）观察下面由点组成的图形（点群） ，请回答：，请回答： （（1 1）方框内的点群包含多少个点？）方框内的点群包含多少个点？ （（2 2）第（）第（1010）个点群中包含多少个点？）个点群中包含多少个点？ （（3 3）前十个点群中，所有点的总数是多少？）前十个点群中，所有点的总数是多少？ 【【解析解析】】（1）数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：1，4，7，10.可以看出，在每相邻 的两个数中，后一个数都比前一个数大 3.因为方框内应是第（5）个点群，它的点数 应该是 10+3=13（个）. （2）列表，依次写出各点群的点数， 可知第（10）个点群包含有 28 个点. 雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才 、3、前十个点群，所有点的总数是： 1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（个） 练习练习 3.3.下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 10 10 5 1 1 6 15 15 6 1 (1) 1 2 4 3 6 9 4 8 12 16 5 10 15 25 6 12 18 24 30 36 7 21 28 35 42 49 （2） 【【【【（1）这个是著明的“杨辉三角” ，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字 1 组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
（ ）处分别填上 5、20其 实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位中国古代数 学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页杨辉， 字谦光，北宋时期杭州人在他 1261 年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了 如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图 （2）每行第个数等于该行第一个数的倍，故上、下空缺的数分别为 20 和 14。