最短路径问题——和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题） ．如图所示，在直线 l 上找一点 P 使得 PA＋PB 最小．当点 P 为直线 AB′与直线 l 的交点时，PA＋PB 最小．lBAlPBAB'【方法归纳】①如图所示，在直线 l 上找一点 B 使得线段 AB 最小．过点 A 作 AB⊥l，垂足为 B，则线段 AB 即为所求．lAlAB②如图所示，在直线 l 上找一点 P 使得 PA＋PB 最小．过点 B 作关于直线 l 的对称点 B′，BB′与直线 l 交于点 P，此时 PA＋PB 最小，则点 P 即为所求．lBAlPBAB'③如图所示，在∠AOB 的边 AO，BO 上分别找一点 C，D 使得 PC＋CD＋PD 最小．过点 P 分别作关于AO，BO 的对称点 E，F，连接 EF，并与 AO，BO 分别交于点 C，D，此时 PC＋CD＋PD 最小，则点C，D 即为所求．OABPDCOABPFE④如图所示，在∠AOB 的边 AO，BO 上分别找一点 E，F 使得 DE＋EF＋CF 最小．分别过点 C，D 作关于 AO，BO 的对称点 D′，C′，连接 D′C′，并与 AO，BO 分别交于点 E，F，此时 DE＋EF＋CF 最小，则点 E，F 即为所求．C BAODEFC BAODD'C'⑤如图所示，长度不变的线段 CD 在直线 l 上运动，在直线 l 上找到使得 AC＋BD 最小的 CD 的位置．分别过点 A，D 作 AA′∥CD，DA′∥AC，AA′与 DA′交于点 A′，再作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 A′B′与直线 l 交于点 D′，此时点 D′即为所求．lABDClD'ABB'A'DC⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点 P 为抛物线（y＝ x2）上的一点，点 A（0，1）在 y 轴正半轴．点1 4P 在什么位置时 PA＋PB 最小？过点 B 作直线 l：y＝－1 的垂线段 BH′，BH′与抛物线交于点 P′，此时PA＋PB 最小，则点 P 即为所求．yxAOBPyxlP'HAOBPH'【典型例题】1． （13 广东）已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当 m＝2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 D，求 C、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点 P，使得 PC＋PD 最短？若 P 点存在，求出 P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．yxDCO【思路点拨】（1）由二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0） ，直接代入求出 m 的值即可；（2）把 m＝2 代入求出二次函数解析式，令 x＝0，求出 y 的值，得出点 C 的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当 P、C、D 共线时根据“两点之间，线段最短”得出 PC＋PD 最短，求出 CD 的直线解析式，令 y＝0，求出 x 的值，即可得出 P 点的坐标．【解题过程】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0） ，∴代入二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x 或 y＝x2＋2x；（2）∵m＝2， ∴二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1 得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴抛物线的顶点为：D（2，－1） ，当 x＝0 时，y＝3，∴C 点坐标为：（0，3） ，∴C（0，3） 、D（2，－1） ；（3）当 P、C、D 共线时 PC＋PD 最短，【方法一】∵C（0，3） 、D（2，－1） ，设直线 CD 的解析式为 y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，当 y＝0 时，－2x＋3＝0，解得 x＝ ，∴PC＋PD 最短时，P 点的坐标为：P（ ，0） ．3 23 2【方法二】过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E，∵PO∥DE，∴＝ ，∴＝ ，解得：PO＝ ，PO DECO CEPO 23 43 2∴PC＋PD 最短时，P 点的坐标为：P（ ，0） ．3 2yxPEDCO2． （11 菏泽）如图，抛物线 y＝ x2＋bx﹣2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（﹣1，0） ．12 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论； （3）点 M（m，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC＋MD 的值最小时，求 m 的值．yx BCODA【思路点拨】（1）把点 A 的坐标代入求出 b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点 D 的坐标； （2）观察发现△ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点 B，C 的坐标，再得出 AB，AC，BC 的长度，易得 AC2＋BC2＝AB2，得出△ABC 是直角三角形； （3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′，连接 C'D 交 x 轴于点 M，根据“两点之间，线段最短”可知 MC＋MD 的值最小．求出直线 C'D 的解析式，即可得出点 M 的坐标，进而求出 m 的值．【解题过程】解：（1）∵点 A（－1，0）在抛物线 y＝ x2＋bx－2 上，∴ ×（－1 ）2＋b×（－1）－2＝0，解得1 21 2b＝－ ，3 2∴抛物线的解析式为 y＝ x2－ x－2＝ （x－ ）2－，∴顶点 D 的坐标为 （ ，－） ．1 23 21 23 225 83 225 8 （2）当 x＝0 时 y＝－2，∴C（0，－2） ，OC＝2．当 y＝0 时， x2－ x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B （4，0） ，∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．1 23 2∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2． ∴△ABC 是直角三角形． （3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′，则 C′（0，2） ，OC′＝2， 连接 C′D 交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MD 的值最小． 【方法一】设直线 C′D 的解析式为 y＝kx＋n，则，解得：．∴y＝－x＋2．{n＝2 32k＋n＝－258){n＝2k＝－4112)4112∴当 y＝0 时，－x＋2＝0，x＝．∴m＝．411224412441 【方法二】 设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E． ∵ED∥y 轴，∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM，∴△C′OM∽△DEM．∴＝，∴ ＝，∴m＝ ．OMEMOC′EDm32－m22582441yxEMC'BCODA3． （11 福州）已知，如图，二次函数 y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为 H，与 x 轴交于 A、B 两点（B 在 A 点右侧） ，点 H、B 关于直线 l：y＝x＋对称．333（1）求 A、B 两点坐标，并证明点 A 在直线 l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点 B 作直线 BK∥AH 交直线 l 于 K 点，M、N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点，连接HN、NM、MK，求 HN＋NM＋MK 和的最小值．yxKHBAO【思路点拨】（1）二次函数 y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）中只有一个未知参数 a，令 y＝0，解出方程ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0） ，即可得到点 A，B 的坐标．把点 A 的坐标代入直线 l 的解析式即可判断 A 是否在直线上；（2）根据点 H、B 关于过 A 点的直线 l：y＝x＋对称，得出 AH＝AB＝4，过顶点 H 作 HC⊥AB 交 AB333于 C 点，得 AC＝ AB＝2，利用勾股定理求出 HC 的长，即可得出点 H 的坐标，代入二次函数解析式，求1 2 出 a，即可得到二次函数解析式； （3）直线 BK∥AH 易得直线 BK 的解析式，联立直线 l 的解析式方程组，即可求出 K 的坐标．因为点 H，B 关于直线 AK 对称，所以 HN＝BN，所以根据“两点之间，线段最短”得出 HN＋MN 的最小值是 MB．作点 K 关于直线 AH 的对称点 Q，连接 QK，交直线 AH 于 E，所以 QM＝KM，易得 BM＋MK 的最 小值为 BQ，即 BQ 的长是 HN＋NM＋MK 的最小值，求出 QB 的长即可．【解题过程】解：（1）依题意，得 ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0） ，解得 x1＝﹣3，x2＝1， ∵B 点在 A 点右侧，∴A 点坐标为（﹣3，0） ，B 点坐标为（1，0） ，∵直线 l：y＝x＋，当 x＝﹣3 时，y＝×(－3)＋＝0，∴点 A 在直线 l 上．333333（2）∵点 H、B 关于过 A 点的直线 l：y＝x＋对称，∴AH＝AB＝4，333过顶点 H 作 HC⊥AB 交 AB 于 C 点，则 AC＝ AB＝2，HC＝2，1 23∴顶点 H（－1，2） ，代入二次函数解析式，解得 a＝－，332∴二次函数解析式为 y＝－x2－x＋，3233 32 （3）直线 AH 的解析式为 y＝x＋3，直线 BK 的解析式为 y＝x＋3，3333由，解得，即 K（3，2） ，则 BK＝4， {y＝33x＋ 3y＝ 3x－ 3){x＝3 y＝2 3)3∵点 H、B 关于直线 AK 对称， ∴HN＋MN 的最小值是 MB，KD＝KE＝2，3过点 K 作直线 AH 的对称点 Q，连接 QK，交直线 AH 于 E，则 QM＝MK，QE＝EK＝2，AE⊥QK，3∴BM＋MK 的最小值是 BQ，即 BQ 的长是 HN＋NM＋MK 的最小值， ∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，由勾股定理得 QB＝8， ∴HN＋NM＋MK 的最小值为 8．yxKHBAOCyxQKHBAODMN4． （14 海南）如图，对称轴为直线 x＝2 的抛物线经过 A（－1，0） ，C（0，5）两点，与 x 轴另一交点为B．已知 M（0，1） ，E（a，0） ，F（a＋1，0） ，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当 a＝1 时，求四边形 MEFP 的面积的最大值，并求此时点 P 的坐标；（3）若△PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形 PMEF 周长最小？请说明理由．yx FEMACBOPyx FEMACBOP【思路点拨】（1）由对称轴为直线 x＝2，可以得出顶点横坐标为 2，设二次函数的解析式为 y＝a（x－2）2＋k，再把点 A，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形 MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形 MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N，由 S四边形 MEFP＝S梯形 OFPN－S△PMN－S△OME即可得出；（3）四边形 PMEF 的四条边中，线段 PM，EF 长度固定，当 ME＋PF 取最小值时，四边形 PMEF 的周长取得最小值．将点 M 向右平移 1 个单位长度（EF 的长度） ，得到点 M1（1，1） ，作点 M1关于 x 轴的对称点 M2（1，－1） ，连接 PM2，与 x 轴交于 F 点，此时 ME＋PF＝PM2最小．【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线 x＝2，∴设抛物线解析式为 y＝a（x－2）2＋k．将 A（－1，0） ，C（0，5）代入得：，解得，{9a＋k＝04a＋k＝5){a＝－1k＝9)∴y＝－（x－2）2＋9＝－x2＋4x＋5．（2）当 a＝1 时，E（1，0） ，F（2，0） ，OE＝1，OF＝2．设 P（x，－x2＋4x＋5） ，如答图 2，过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N，则 PN＝x，ON＝－x2＋4x＋5，∴MN＝ON－OM＝－x2＋4x＋4．S四边形 MEFP＝S梯形 OFPN－S△PMN－S△OME＝ （PN＋OF）•ON－ PN•MN－ OM•OE1 21 21 2＝ 。