考研数学线代真题

1 考研数学（线性代数）历年真题考研数学（线性代数）历年真题 2013 年数一年数一 1、 （4 分） ）设矩阵均为阶矩阵，若可逆，则 , ,A B Cn,ABC B A 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价; B 矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价;CACA C 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价; D 矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价CBCB 2、 （4 分）矩阵与相似的充分必要条件为 11 11 a aba a      200 00 000 b      A ；B 为任意常数；C ；D 为任意常数0,2ab0,ab2,0ab2,ab 3、 （4 分）设是三阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若() ij Aa||AA ij A ij a ，则= 0( ,1,2,3) ijij aAi j||A 4、 （11 分）设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵 101 , 101 a AB b     , a bCACCAB C 5、 （11 分）设二次型，记 22 1231 122331 12233 ( ,,)2()()f x xxa xa xa xb xb xb x 11 22 33 , ab ab ab        （1）证明二次型对应的矩阵为；f2 TT  （2）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变换下的标准形为二次型。

 f 22 12 2yy 2012 年数一年数一 1、 （4 分）设，其中为任意常数，则下列向量组线 1234 1234 0011 0 ,1 ,1 ,1 cccc         1234 ,,,c cc c 性相关的是 C A ；B ；C ；D 123 ,,   124 ,,   134 ,,   234 ,,   2、 （4 分）设为 3 阶矩阵，为 3 阶可逆矩阵，且AP ，则( B ) 1 1231223 100 010 ,(,,),(,,) 002 P APPQ            1 Q AQ   A ; B ; C ; D 1 2 1      1 1 2      2 1 2      2 2 1      3、 （4 分）设为三维单位向量，为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为 2 xE T Exx 2 4、 （10 分）设。

1001 0101 , 0010 0010 a a Ab a a         （1）求；||A （2）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解AxbaAxb 5、 （10 分）三阶矩阵为矩阵的转置，已知且 101 011 , 10 T AA a        A()2 T r A A  TT fx A Ax （1）求；a （2）求二次型对应的矩阵，并将二次型化为标准形，写出正交变换过程 2011 年数一年数一 1、(4 分)设为 3 阶矩阵，将的第 2 列加到第 1 列得矩阵，再交换的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，AABB 记，则（ ） 12 100100 110 ,001 001010 PP       A  A ; B ; C ; D 12 PP 1 12 P P  21 P P 1 21 PP  2、设是 4 阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系， 1234 (,,,)A   AA(1,0,1,0)T0Ax  则的基础解系可为（ ） 。

0A x   A ； B ； C ； D 13 ,  12 ,  123 ,,   234 ,,   3、若二次曲面的方程为，经正交变换化为，则 222 32224xyzaxyxzyz 22 11 44yza  4、 （11 分）不能由线性 123 (1,0,1) ,(0,1,1) ,(1,3,5) TTT  123 (1, ,1) ,(1,2,3) ,(1,3,5) TTT a 表出 （1）求；a （2）将由线性表出 123 ,,  123 ,,   5、 （11 分）为三阶实对称矩阵，,且A( )2R A  1111 0000 1111 A        （1）求的特征值与特征向量；A （2）求A 2010 年数一年数一 3 1、设为型矩阵，为型矩阵，为阶单位矩阵，若，则（ ） Am nBn mEmABE A ；B ；C ；D ( ), ( )R Am R Bm( ), ( )R Am R Bn( ), ( )R An R Bm( ), ( )R An R Bn 2、设为 4 阶对称矩阵，且。

若的秩为 3，则相似于（ ） A 2 0AAAA A ; B ; C ; D 1 1 1 0       1 1 1 0       1 1 1 0        1 1 1 0        3、设，若由形成的向量空间维数是 2，则 123 (1,2, 1,0) ,(1,1,0,2) ,(2,1,1, ) TTT a 123 ,,  a  4、设，已知线性方程组存在两个不同的解 11 010 ,1 111 a Ab               Axb （1）求；,a （2）求方程组的通解，Axb 5、已知二次型在正交变换下的标准形为，的第三列为 123 ( ,,) T f x xxx AxxQy 22 12 yyQ 22 (,0,) 22 T （1）求矩阵；A （2）证明：为正定矩阵，其中为 3 阶单位矩阵AEE 2009 年数一年数一 1、设是 3 维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵 123 ,,   3 R 123 11 ,, 23  122331 ,,   为 A A ; B ; C ; D 101 220 033      120 023 103      111 246 111 246 111 246             111 222 111 444 111 666             2、设均为 2 阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随,A B,A B  ,A B|| 2,|| 3AB OA BO    矩阵为 B A B ; C ; D 3 2 OB AO      2 3 OB AO      3 2 OA BO      2 3 OA BO      4 3、若 3 维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为 2 。

 2 T   T  T  4、设 1 1111 111,1 0422 A         （1）求满足的所有向量； 2 2131 ,AA 23 ,  （2）对（1）中的任意向量，证明：线性无关 23 ,  123 ,,   5、若二次型 222 1231231323 ( ,,)(1)22f x xxaxaxaxx xx x （1）求二次型的矩阵的所有特征值；f,2,1a aa （2）若二次型的规范形为，求的值2f 22 12 yya 2008 年数一年数一 1、设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若，则（ C ） AnEn 3 0A  A 不可逆，不可逆；B 不可逆，可逆；EAEAEAEA C 可逆，可逆； D 可逆，不可逆；EAEAEAEA 2、设为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则A( , , )1 x x y z A y z       的正特征值个数为（ B ） A A 0; B 1; C 2; D 3 3、设为 2 阶矩阵，为线性无关的 2 维列向量，，则的非零特征值为 1 .A 12 ,  1212 0,2AAA 4、设为 3 维向量，矩阵，为的转置，为的转置。

  TT A T  T  （1）证明：；( )2R A  （2）若线性相关，则 ( )2R A  5、设元线性方程组，其中nAxb 2 12 2 21 2 ,( ,,,) ,(1,0,,0) 1 2 TT n n n a aa Axx xxb aa         O LL OO （1）证明：行列式；|| (1) n Ana （2）为何值，方程组有唯一解，求；a 1 x 5 （3）为何值，方程组有无穷多解，求通解a 2007 年数一年数一 1、设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 123 ,,   A ; B ; 122331 ,,   122331 ,,   C ; D 122331 2,2,2   122331 2,2,2   2、设矩阵，则与 211100 121 ,010 112000 AB         AB A 合同且相似； B 合同，但不相似； C 不合同，但相似； D 既不合同，也不相似 3、设矩阵，则的秩为 。

0100 0010 0001 0000 A        3 A 4、设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解 123 123 2 123 0 20 40 xxx xxax xxa x        123 21xxxaa 5、设 3 阶对称矩阵的特征值，是的属于的一个特征向量，记A 1231 1,2,2,(1, 1,1)T A 1  ，其中为 3 阶单位矩阵 53 4BAAEE （1）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征向量； 1 BB （2）求矩阵B 2006 年数一年数一 1、设矩阵，为 2 阶单位矩阵，矩阵满足，则 2 . 21 12 A      EB2BABE||B  2、设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（ A ） 12 ,,, r  LnAm n A. 若线性相关，则线性相关; 12 ,,, r  L 12 ,,, r AAAL B. 若线性相关，则线性无关; 12 ,,, r  L 12 ,,, r AAAL C. 若线性无关，则线性相关; 12 ,,, r  L 12 ,,, r AAAL D. 若线性无关，则线性无关; 12 ,,, r  L 12 ,,, r AAAL 6 3、设是 3 阶矩阵，将的第 2 行加到第 1 行得，再。