优秀学习资料 欢迎下载第一章 行列式教学基本要求：1. 1. 明白 行列式的定义 .2. 把握 行列式的性质和运算行列式的方法 .3. 会运算简洁的 n 阶行列式 .4. 明白 Cramer 法就 .一、行列式的定义1. 定义a11 a21a12 a22a1n a2n称 为 n 阶 行 列 式 ， 记 作 D 〔 或D n 或 | aij |n〕 ， 它 是 n2 个 数an1an2annaij 〔i1 , 2 ,n j, ; 1n, 的2一个运算结果：主对角线a11 a21Dan 1a12 a22an2a1n a2 nanna11 A11a12 A12a1n A1n ， 〔1.1〕其中， aij 〔i1,2, , n; j1,2, , n〕 为行列式位于第 i 行 且第 j 列的元素，A1 j〔 1〕1j M 〔 j1,2, , n〕 ，1 j而 M 1 j 为划掉行列式第 1 行和第 j 列的全部元素后余下的元素组成的 n 1阶行列式，即M 1 ja21 a22a2 j 1a3 j 1a2 j 1a2 j 1a2n a3nan1an j 1an j 1annM 1 j 称为元素a1 j 的 余子式 ，A1 j称为元素a1 j 的代数余子式 .2. 基本行列式：(1) 一阶行列式| a | a .例如， |106| 106 ，21 21.(2) 二阶行列式a11 a12a a a a .a21 a2211 22 12 21优秀学习资料 欢迎下载(3) 三阶行列式a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33a11 a22 a33a12 a23 a31a13 a21 a32(4) 三角形行列式a11a13 a22a31a12 a21a33a11 a23a32 .①对角行列式anna11 a22ann .②下三角行列式a11an1anna11 a22ann .③上三角行列式a11a1 nanna11a22ann .a1 n n 〔 n 1〕④an1〔 1〕 2a1 n a2 n 1an1 .a1n n 〔 n 1〕⑤an1ann〔 1〕 2a1n a2 n 1an1 .a11a1 n n 〔 n 1〕⑥an1〔 1〕 2a1 n a2 n 1an1 .留意： ④、⑤和⑥的结果中均有符号〔 1〕n〔 n 1〕2 .3. 行列式的性质a11D a21a12 a22a1n a2n， D Ta11 a12a21a22an1 an 2an1an 2anna1na2nann性 质 1.1DT D . 〔1.2〕性质 1.1 的意义：行列式的行所具有的性质列也具有 .下面仅针对 行表达行列式的性质 .优秀学习资料 欢迎下载性质 1.2〔 行列式的绽开性质 〕a11 a21a12 a22a1n a2 nai1Ai1ai 2 Ai 2ain Ain , 〔i1,2, , n〕 . 〔1.3〕an1an 2ann例如，行列式 D0 2 0 3020030591 1 2 02A123 A142 A323A149A44 6 .一个 n 阶行列式有 个余子式，有 个代数余子式；一个元素的余子式与代数余子式或 或 .应当留意到 ，一个元素的余子式或代数余子式与该元素的 有关，与该元素的 无关 .性质 1.3〔 行列式的公因子性质 〕kai1kaink ai1ain. 〔1.4〕性质 1.3 仍可以这样表述： 用数 k 乘以行列式某一行的每一个元素，等于用数 k 乘以行列式 .246123例如， 40524052〔 58〕116 .1 0 6 1 0 60.5 1 0.5 2 0.5 3 1 2 34 0 5 0.5 4 0 5 0.5 〔 58〕 29 .1 0 6 1 0 6推论 行列式的一行元素 全为零 ，行列式 为零 .性质 1.4〔 行列式的拆分性质 〕优秀学习资料 欢迎下载a11a12a1nbi1ci1bi 2ci 2bincinan1 a11a12an2a1na11ann a12a1 n〔1.5〕bi 1bi 2binci1ci 2cin .an1an 2annan1an 2ann性质 1.4 可以推广到一行有更多个数相加的情形 .性质 1.5 行列式两行元素对应 全相等 ，行列式 为零 .推论 1 行列式两行元素对应 成比例 ，行列式 为零 .推论 2 设行列式 D| aij|n ，就ai 1 Aj 1ai 2 Aj 2ain Ajn Dij . 〔1.6〕这里， ij1, i j ,0, i j .ij 为 Kronecker 符 号 .性质 1.6〔 行列式的不变性质 〕a11a12a1na11a12a1nai1a j1kai1ai 2a j 2kai 2a jnainkainai1a j1ai 2a j 2ain a jn. 〔1.7〕an1an 2annan1an2ann性质 1.6 的意义：任何一个行列式都可化为三角形行列式，从而算出值 .性质 1.7〔 行列式的变号性质 〕优秀学习资料 欢迎下载ai1a j1ai 2aj 2ain ajna j1ai1aj 2ai 2a jnain〔i j 〕 . 〔1.8〕总结：利用性质 1.6 及其它性质与推论，可以更简洁地将一个行列式化为“三角形”行列式 . 步骤如下：a11a12a1n 1a1 na11a12a1n 1a1na21a22a2 n 1a2 n0 a22a2 n 1a2 naaan1an 2ann 1ann0 an 2ann 1anna a a a a〔n 1〕〔n 1〕〔n 1〕〔n 1〕11 12 1 n 1 1n11 12 1n1 1 na0 a a a0 a〔n 1〕a〔n 1〕a〔n 1〕22 2 n 1 2n22 2n1 2 n .0 0 a a0 0 0a〔n 1〕nn 1 nn nn1 2 3例如， 4 0 51 0 62 1 30 4 50 1 62 1 30 1 60 4 52 1 30 1 60 0 2958 .在实际运算中，往往是“化零”与“绽开”结合着进行，需要依据行列式的特点敏捷地运用行列式的性质 ．二、行列式的运算行列式的运算过程，大多可以通过如下符号 指示：交 换 i , j 两行 〔 列 〕 ： rirj （ cic j ）；第 i 行〔 列〕 提取公因子 k： rik （ cik ）；第 j 行〔 列〕 的 k 倍加到第 i 行〔 列〕 ： rikrj（ cikcj ） .0 1 1 21 1 0 2例 1.1 运算行列式 D .1 2 1 02 1 1 0优秀学习资料 欢迎下载0解 D 1121 1 21 0 22 1 01 1 02 （ 1）51 1 01 2 12 1 12 （ 1）60 1 11 2 12 1 12 4 2 6 4 .0 1 1 2 0 1 1 21 1 0 2 1 0 1 0或 D1 2 1 0 1 2 1 02 1 1 0 2 1 1 02 〔 1〕51 0 11 2 1 2 〔 2〕 4 .2 1 103200 202003059003解D2 〔 1〕 51201 26359例 1.2 运算行列式 D 1 1 .6 .3 5或 D 3A149A443M 149M 44〔 3〕 〔 2〕 9 0 6 .。