人教版高中数学放缩法概况

人教版高中数学放缩法概况人教版高中数学放缩法概况1、先放缩再求和（或先求和再放缩）、先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2、函数 f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.xx414)(2121* 1Nnn证明：由 f(n)= =1-nn414111142 2nn 得 f（1）+f（2）+…+f（n）>n2211 2211 221121  .)(2121) 21 41 211 (41* 11Nnnnnn此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可2、添加或舍弃一些正项（或负项）、添加或舍弃一些正项（或负项）例 1、已知求证：*21().n nanN*122311.().23nnaaannNaaa证明： 11 121111111 1.,1,2,., ,2122(21)23.22223 2k k kkkkk kakna 12 2 2311 111111.(.)(1),23 22223223n nn naaannn aaa*122311.().232nnaaannnNaaa若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式 的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的本题在放缩时就舍去了，从而是22k 使和式得到化简.3、逐项放大或缩小、逐项放大或缩小例 3、设求证：) 1(433221nnan2) 1( 2) 1(2nannn证明：∵ nnnn2) 1(212)21() 1(2nnnn∴ 212) 1(nnnn∴ ， ∴2) 12(31321nann2) 1( 2) 1(2nannn本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的21(1)2nnn nna数列，达到化简的目的4、固定一部分项，放缩另外的项；、固定一部分项，放缩另外的项；例 4、求证：222211117 1234n证明：21111 (1)1nn nnn2222211111111151171()().1232231424nnnn 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须 根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

5、函数放缩、函数放缩例例 5.求证：求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln*Nnnn nn .解析解析:先构造函数有先构造函数有xxxxx11ln1ln,从而从而)31 31 21(1333ln 44ln 33ln 22lnnn nn 因为因为  nnnn31 121 21 91 81 71 61 51 41 31 21 31 31 2165 33 323 279 189 93 63 65111nnnnn       所以所以6653651333ln 44ln 33ln 22lnnnnn nn 6、裂项放缩、裂项放缩例例 6 求证求证:35112 nkk.解析解析:因为因为  121 12121444111222nnnnn ,所以所以35 321121 121 51 3121112  nnknk7、均值不等式放缩、均值不等式放缩例例 7.设设. ) 1(3221nnSn求证求证.2) 1( 2) 1(2nSnnn解析解析: 此数列的通项为此数列的通项为.,, 2 , 1, ) 1(nkkkak21 21) 1(kkkkkk，，)21(11 nknnkkSk，，即即.2) 1( 22) 1( 2) 1(2nnnnSnnn注：注：①①应注意把握放缩的应注意把握放缩的“度度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2baab，若放成，若放成1) 1(kkk则得则得2) 1( 2) 3)(1() 1(21nnnkSnkn，就放过，就放过“度度”了！了！②②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里naa naaaaaannnnnn22 11 1111  其中，其中，3 , 2n等的各式及其变式公式均可供选用。

等的各式及其变式公式均可供选用8、二项放缩、二项放缩n nnnnnCCC10) 11 (2,1210nCCnnn,2222 210nnCCCnnnn)2)(1(2nnnn。