24.1 圆的有关性质24.1.1圆第二十四章 圆目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.认识圆，理解圆的本质属性认识圆，理解圆的本质属性.（重点）（重点）2.理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆等弧等理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点）（难点）学习目标新课导入知识回顾小学阶段我们学习了圆的哪些性质？dr新课导入课时导入圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象(如图).新课讲解知识点1 圆的定义我们在小学已经对圆有了初步认识，如图，观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？新课讲解rOA 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”，如下图所示.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示 新课讲解知识点1.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 2.到定点的距离等于定长的点都在 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合OACErrrrrD定长r同一个圆上圆的集合定义从画圆的过程可以看出什么呢？新课讲解知识点一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小同心圆 等圆 半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同确定一个圆的要素新课讲解知识点 1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.ABCDO证明：四边形ABCD是矩形，AO=OC，OB=OD.又AC=BD，OA=OB=OC=OD.A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.例新课讲解练一练下列条件中，可以确定一个圆的是()DA.半径为1cmB.圆心在点O处C.半径是1cm，且经过点P D.圆心在点O处，且直径是2cm新课讲解知识点2 与圆有关的概念 COAB连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径1 1.弦和直径都是线段弦和直径都是线段.2.2.直径是直径是弦，是弦，是经过圆心的特殊弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径圆中最长的弦，但弦不一定是直径.新课讲解OABOAB圆中最长的弦是什么？为什么？OABCCDCDOABCOABCDOABCD直径是最长的弦新课讲解知识点圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆COAB圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”(小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC;(大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC.(新课讲解知识点COA能够重合的两个圆叫做等圆.CO1A在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧仅仅存在于同圆或者等圆中等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.新课讲解练一练1.下列语句正确的有()直径是弦；弦是直径；半径相等的两个半圆是等弧；长度相等的两条弧是等弧；半圆是弧，弧不一定是半圆.A.1个B.2个C.3个D.4个C1新课讲解2.在ABC中，C=90，求证：A，B，C三点在同一个圆上.ACBO2课堂小结圆定义旋转定义要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径集合定义同圆半径相等有关概念弦(直径)直径是圆中最长的弦弧半圆是特殊的弧劣弧半圆优弧同心圆等圆同圆等弧能够互相重合的两段弧当堂小练1.下列说法正确的是()A.直径是弦，弦是直径B.半圆是弧，弧是半圆C.弦是圆上两点之间的部分D.半径不是弦，直径是最长的弦D当堂小练2.下列说法中，不正确的是()A.过圆心的弦是圆的直径B.等弧的长度一定相等C.周长相等的两个圆是等圆D.长度相等的两条弧是等弧D当堂小练3.一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是cm.4.在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成的图形是.5.如右图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线相交于点C，且有DC=OE，若C=20，则EOB的度数是.5圆60当堂小练6.已知：如图，在ABC中，C=90，求证：A、B、C三点在同一个圆上.证明：作AB的中点O，连接OC.ABC是直角三角形.OA=OB=OC=AB.A、B、C三点在同一个圆上.拓展与延伸求证：直径是圆中最长的弦.证明：如图，在O中，AB是O的直径，半径是r.CD是不同于AB的任意一条弦.连接OC、OD，则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.在OCD中，OC+ODCD，ABCD.即直径是圆中最长的弦.24.1 圆的有关性质24.1.1垂直于弦的直径第二十四章 圆目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）（难点）学习目标新课导入知识回顾连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合1.圆的定义(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆2.弦的定义3.弧的定义圆上任意两点间的部分叫做弧.新课导入课时导入你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？新课讲解知识点1 圆的对称性 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴新课讲解圆有无数条对称轴，每一条圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线对称轴都是直径所在的直线.圆有哪些对称轴？O新课讲解 1 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.例新课讲解证明：如图，设CD是O的任意一条直径，A为O上点C,D以外的任意 一点.过点A作AACD，交O于点A，垂足为M，连接OA，OA.在OAA中，OA=OA,OAA是等腰三角形.又AACD，AM=MA.即CD是AA的垂直平分线.这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A，因此O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.新课讲解知识点2 垂径定理 2 如图，AB是O的一条弦，直径CDAB，垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?答：线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD)(理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合(OABDEC例新课讲解垂径定理*OABCDE垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.CD是直径，CDAB，AE=BE，(AC=BC，(AD=BD.推导格式：新课讲解知识点垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC新课讲解知识点如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心；垂直于弦；平分弦（非直径）；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，都可以推出其他三个结论(知二推三).新课讲解知识点“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：OABCD新课讲解知识点 3 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.例新课讲解 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.(在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+（R-7.23）2.解得R27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，(连接OA，根据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.(由题设可知AB=37，CD=7.23，所以 AD=AB=37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.新课讲解在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法OABC新课讲解弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系 d+h=r ABC DOhrd新课讲解练一练如图，AB是圆O的弦，半径OCAB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是()A.2B.3C.4D.5A分析：课堂小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形当堂小练1.如图，O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是()A.AOD=BODB.AD=BDC.OD=DCD.AC=BC2.半径为5的O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是，最短弦的长是.C106当堂小练3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB300m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD45m，求这段弯路的半径.解：设半径为r.OCAB，AD=BD=AB=150m.在RtODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2,解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为272.5m.当堂小练4.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.证明：过O作OEAB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,则AE=BE，CE=DE，AE-CE=BE-DE，即AC=BD.拓展与延伸如图，AB和CD分别是O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果ABCD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？拓展与延伸解：OMON.理由如下：连接OA、OC.则OAOC.ONCD,OMAB,又ABCD,CNAM,CN2AM2.在RtOCN和RtOAM中，OM2OA2-AM2,ON2OC2-CN2,OM2ON2.OMON.24.1 圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角第二十四章 圆目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题相关问题.（重点）（重点）3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆在同圆或等圆”条件的意义条件的意义.（难点）（难点）学习目标新课导入知识回顾连接圆上任意两点的线段叫做弦.1.弦的概念：2.弧的概念：新课导入课时导入圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性.OAB将圆绕圆心旋转180后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？新课讲解知识点1 圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBAAOB为圆心角 圆心角AO。