第第 5 章章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析第第 6 章章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析学习目的：学习目的：v.理解稳定性的概念理解稳定性的概念v.掌握稳定性判别的基本原则掌握稳定性判别的基本原则v.掌握劳斯掌握劳斯-胡尔维茨稳定性判据胡尔维茨稳定性判据v.掌握乃奎斯特稳定性判据掌握乃奎斯特稳定性判据v 5.系统相对稳定性及其表示形式系统相对稳定性及其表示形式（相位裕量和幅值裕量（相位裕量和幅值裕量）重点重点重点重点重点重点难点难点难点难点 5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念 5.1.1.稳定性的概念稳定性的概念 系统在受到外界扰动作用时，其被控制量系统在受到外界扰动作用时，其被控制量 yc(t)将将偏离平衡位置当这个扰动作用去除后，若系统在足够长偏离平衡位置当这个扰动作用去除后，若系统在足够长的时间内能恢复到其原来的平衡状态或者趋于一个给定的时间内能恢复到其原来的平衡状态或者趋于一个给定的新的平衡状态，则该系统是稳定的的新的平衡状态，则该系统是稳定的反之，若系统对干扰的瞬态响应随时间的推移而不反之，若系统对干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或发生持续振荡，也就是一般所谓断扩大或发生持续振荡，也就是一般所谓“自激振动自激振动”，则系统是不稳的。
则系统是不稳的a)(b)(c)图图5.1 系统在干扰作用下的响应系统在干扰作用下的响应teat(a0)e jit+e-jit y(t)eat(a0)y(t)y(t)000ttt5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念 判别系统稳定性转化为判别系统稳定性转化为 对系统特征方程的根的判别对系统特征方程的根的判别 5.1.2判别系统稳定性的基本准则判别系统稳定性的基本准则 在设计一个系统时，首先要保证其稳定；在分析在设计一个系统时，首先要保证其稳定；在分析一个已有系统时，也首先要判定其是否稳定一个已有系统时，也首先要判定其是否稳定注意：注意：线性系统是否稳定，是系统本身的一个特线性系统是否稳定，是系统本身的一个特性，而与系统的输入量或扰动无关性，而与系统的输入量或扰动无关5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念 用拉氏变换的数学方法对上式各项取拉氏变换，并整理用拉氏变换的数学方法对上式各项取拉氏变换，并整理）得）得整理后可得整理后可得(5-1)5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念 再经拉氏反变换可得原函数再经拉氏反变换可得原函数 上式右边的第一项是式（上式右边的第一项是式（6-1）的齐次通解，是与初）的齐次通解，是与初始条件始条件A0(s)B0(s)有关而与输入或扰动有关而与输入或扰动x(t)无关的补函数。
无关的补函数令它为令它为yc(t)，即，即5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念其中其中(5-2)式式(5-4)右边的第二项是式（右边的第二项是式（5-1）的非齐次通解，）的非齐次通解，是与初始条件无关是与初始条件无关 而只与输入或扰动而只与输入或扰动x(t)有关的特解有关的特解令它为令它为yi(t)，即，即 既然系统的稳定与否要看系统在除去扰动后的运行既然系统的稳定与否要看系统在除去扰动后的运行情况，因此系统的补函数情况，因此系统的补函数yc(t)反映了系统是否稳定反映了系统是否稳定5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念 (5-7)当当t 时时，yc(t)0，则系统为稳定；若当，则系统为稳定；若当 t 时，时，yc(t)或是时间或是时间t 之周期函数，则系统不稳定之周期函数，则系统不稳定为此，来求为此，来求yc(t)式中式中 令式（令式（5-2）A（s）=0，称为系统的，称为系统的“特征方程特征方程”，其解，其解pi(i=1,2,n)为其特征根若为其特征根若pi为复数，则由于实际物理为复数，则由于实际物理系统系统 A（s）的系数均为实数，）的系数均为实数，因此因此 pi总是以共扼复数形式总是以共扼复数形式成对出现，即成对出现，即5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念 (1)当其实部当其实部a 0，则当，则当 时，将使得时，将使得 即即 则系统不稳定。
则系统不稳定3）若）若si之实部之实部a=0，则，则si=jbtYc(t)将包含将包含 即即cosbt 这样的函数，系统将产生持续振荡，其振荡频率这样的函数，系统将产生持续振荡，其振荡频率即即等于等于b，系统也不稳定系统也不稳定5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念 5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念总之，判别系统稳定性的问题可归结为：总之，判别系统稳定性的问题可归结为：对系统特征方程的根的判别对系统特征方程的根的判别判别系统稳定性的基本条件：判别系统稳定性的基本条件：一个系统稳定的必要和充分条件是其特征方一个系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的所有的根都必须为负实数或为具有负实部的程的所有的根都必须为负实数或为具有负实部的复数亦即稳定系统的全部根复数亦即稳定系统的全部根si均应在复平面的左均应在复平面的左半平面，如图所示，其虚轴坐标值为振动频率半平面，如图所示，其虚轴坐标值为振动频率反之，若有反之，若有si落在包括虚轴在内的右半平面（但不落在包括虚轴在内的右半平面（但不包括原点），则可判定该系统是不稳定的包括原点），则可判定该系统是不稳定的5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念图图5-2 稳定、不稳定区域稳定、不稳定区域-b2-b1-a+j-a-ja-ja+jjRe-ii0不不稳稳定定区区域域稳稳定定区区域域注意：注意：原点特殊，解原点特殊，解释原因。
释原因由式（由式（5-2）结合传递函数的概念可知系统特征方程多项式）结合传递函数的概念可知系统特征方程多项式A(s)与传递函数的分母是一样的，因此，知道了系统的传与传递函数的分母是一样的，因此，知道了系统的传递函数递函数取其分母取其分母A(s)0即可分析系统的稳定性，这在工程应即可分析系统的稳定性，这在工程应用中十分方便用中十分方便5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念 为了判别系统是否稳定，必须确定特征方程的根是否全为了判别系统是否稳定，必须确定特征方程的根是否全在复平面的左半平面在复平面的左半平面确定特征方程的根是否全在复平面的左半平面可有两类确定特征方程的根是否全在复平面的左半平面可有两类途径：途径：1.求出所有的根；求出所有的根；2.仅仅确定能保证所有的根均在仅仅确定能保证所有的根均在s左半平面的系统参数之左半平面的系统参数之范围而并不求出根的具体值范围而并不求出根的具体值返回本章首页返回本章首页返回本章首页返回本章首页5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念过过于于繁繁杂杂，除除简简单单的的特特征征方程外，一般很少采用方程外，一般很少采用常常用用劳劳斯斯-胡胡尔尔维维茨茨稳稳定定性性判判据据”、“乃乃奎奎斯斯特特稳稳定定性性判判据据”、“伯伯德德稳稳定定性性判判据据”以以及及“根根轨轨迹迹法法”等方法来判别。
本书主要介绍前三种方法等方法来判别本书主要介绍前三种方法5.2 稳定性判据稳定性判据 5.2.1劳斯劳斯-胡尔维茨稳定性判据胡尔维茨稳定性判据(Routh-Hurwich)是是代代数数稳稳定定性性判判据据，利利用用代代数数方方程程式式的的根根与与系系数数的的代代数数关关系系，判判断断方方程程式式根根在在复复平平面面中中的的位位置置，也也即即由由特特征征方方程程中中的的已已知知系系数数间间接接判判别别出出方方程程的的根根是是否否具具有有负负实实部部，从从而而判判定定系统是否稳定的系统是否稳定的缺缺陷陷：只只能能判判别别出出系系统统是是否否稳稳定定，但但不不能能知知道道稳稳定定或或不不稳定的程度，也难知道系统中各参数对稳定性的影响稳定的程度，也难知道系统中各参数对稳定性的影响v一般按如下程序进行：一般按如下程序进行：v(1）首先写出系统的特征方程式）首先写出系统的特征方程式v(2）由代数方程式的性质可知，上式的根的实部全为负的）由代数方程式的性质可知，上式的根的实部全为负的必要条件是它的系数的符号全部相同若其中有不同的符号必要条件是它的系数的符号全部相同若其中有不同的符号或其中某个为零（或其中某个为零（a0除外），则上式就会有带正实部的根，除外），则上式就会有带正实部的根，即系统不稳定。
即系统不稳定证明）（证明）v上式各项系数符号相同是它的根具有负实部的必要条件而上式各项系数符号相同是它的根具有负实部的必要条件而非充分条件，因为这时还不能排除有不稳定根的存在为此，非充分条件，因为这时还不能排除有不稳定根的存在为此，还应通过下述方法找出不稳定根是否存在及其数目还应通过下述方法找出不稳定根是否存在及其数目v在上式各项系数为同号的前提下，将各项系数排成如下数列：在上式各项系数为同号的前提下，将各项系数排成如下数列：5.2 稳定性判据稳定性判据 1 劳斯劳斯(Routh)稳定性判别法稳定性判别法snanan-2an-4an-6sn-1an-1an-3an-5sn-2c1c2c3sn-3d1d2d3S1g1S0h1第一行为原系数的奇数项第一行为原系数的奇数项第二行为原系数的偶数项第二行为原系数的偶数项第三行第三行ci由第一第二行按由第一第二行按下式计算下式计算一直进行到其余的值全一直进行到其余的值全部等于零为止部等于零为止第四行第四行di由按下式计由按下式计算算一直进行到其余的值一直进行到其余的值全部等于零为止全部等于零为止注意注意：在展开的阵列：在展开的阵列中，为了简化其后面中，为了简化其后面的数值运算，可以用的数值运算，可以用一个整数去除或乘某一个整数去除或乘某一整个行，这并不改一整个行，这并不改变稳定性的结论。
变稳定性的结论5.2 稳定性判据稳定性判据劳斯稳定判据如下：劳斯稳定判据如下：系统稳定的系统稳定的必要且充分的条件是必要且充分的条件是:其特征方程的全部系数其特征方程的全部系数符号相同，并且其劳斯数列的第一列符号相同，并且其劳斯数列的第一列 之之所有各项全部为正，否则，系统为不稳定如果劳斯数列所有各项全部为正，否则，系统为不稳定如果劳斯数列的第一列中发生符号变化，则其符号变化的次数就是其不的第一列中发生符号变化，则其符号变化的次数就是其不稳定根的数目稳定根的数目例如：例如：+没有不稳定根（稳定）没有不稳定根（稳定）+-有一个不稳定根（不稳定）有一个不稳定根（不稳定）+-+有两个不稳定根（不稳定）有两个不稳定根（不稳定）5.2 稳定性判据稳定性判据 例例5-1 设有系统传递函数为设有系统传递函数为 判别其稳定性，如不稳定，要求出在判别其稳定性，如不稳定，要求出在s平面的右半平面的极点数目平面的右半平面的极点数目解：其特征方程为解：其特征方程为 式中各项系数均为正，排出劳斯数列式中各项系数均为正，排出劳斯数列数列之第一列中有两次符号变化，即数列之第一列中有两次符号变化，即从从2-30，和，和-30 74.7。
因此因此F(s)有两有两个极点在个极点在 s 的右半平面，系统不稳定的右半平面，系统不稳定5.2 稳定性判据稳定性判据s6192210s561812s462010s3-22s22610s136/13s010 第二种方法：用s=1/p 代入原特征方程式，得到一个新的含p的多项式，再对此p多项式应用劳斯判别法，p的不稳定根数就等于s 的不稳定根数5.2 稳定性判据稳定性判据 2.应用劳斯稳定性判据的特殊情况及解决办法应用劳斯稳定性判据的特殊情况及解决办法（1）在应用劳斯判据时，可能发生第一列中出现零，而）在应用劳斯判据时，可能发生第一列中出现零，而其余各项不为零或不全为零的特殊情况因为不能用零做其余各项不为零或不全为零的特殊情况因为不能用零做除数，故劳斯数列无法排下去除数，故劳斯数列无法排下去用一个很小的正数用一个很小的正数代替代替0，仍按上述方法计算各行，再，仍按上述方法计算各行，再令令0对含对含的项求极限，然后来判别第一列系数的符号的项求极限，然后来判别。