专题学习,----几何证明中常见的“添辅助线”方法----“周长问题”的转化,学习目标,1.通过添加辅助线构造全等三角形，巩固并灵活运用全等三角形的判定和性质 2.角平分线上的点向两边做垂线段，巩固练习角平分线性质 3.计算线段和差截长补短，相等线段转移Ⅰ. 连接,典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.,,,,,A,C,B,D,1. 连接AC,,构造全等三角形,,2.连结BD,构造两个等腰三角形,目的:构造全等三角形或等腰三角形,Ⅰ.连接,典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,求证:点M是CD的中点.,A,C,B,D,连接AC、AD,构造全等三角形,,E,,,,M,,,Ⅰ.连接,典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD 的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC,A,C,B,D,连接AD,构造全等三角形,N,M,,,,,,,,,Ⅰ. 连接,典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.,A,C,B,D,连接BD,构造全等三角形,,,,O,,,Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段,典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.,,,A,C,D,过点D作DE⊥AB,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,,,B,,,,E,目的:构造直角三角形,得到距离相等,Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段,典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.,,,A,C,D,过点D作DE⊥AB,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,,,B,,,,E,思考:若AB=15cm,则△BED的周长是多少?,Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段,典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.,,,A,C,D,过点E作EF⊥BC,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,,,B,,,,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,,,E,,,Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段,2.如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.,延长BE和CD交于点F,构造了: 全等的直角三角形,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,,,Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段,典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,求证: PD=PE.,,,A,C,D,过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,,B,,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,,E,,,P,G,O,,,目的:构造直角三角形,得到斜边相等,Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段,△ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F。
求证：BE=CF,,,,连接DB,DC,垂直平分线上点向两端连线段,∟,,1.AD是△ABC的中线，,Ⅳ.中线延长一倍,,,,A,B,C,,D,,,E,延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE.,目的:构造直角三角形,得到斜边相等,,已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2 求证:AB=AC+CD,A,D,B,C,,,1,2,在AB上取点E使得AE=AC，连接DE,截长,F,,在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF,,补短,,如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C求证：AD+BC=AB,E,F,在AB上取点F使得AF=AD,连接EF,截长补短,1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?,Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”,,,,,,,,B,A,C,D,E,,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,2.如图,△ABC中, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.,Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,D,E,,,,,,,,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称. 若A1 A2 =6cm,求△ABC的周长.,Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,O,M,AB+AC+BC,A1 B+ A2 C+BC,A1 A2,,,,,,,,A1,A2,N,4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.,Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,M,AB+BC+AC,AB+ BM+MC+6,N,,,,,,AB+ BM+AM+6,13+6,5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.,Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”,B,A,C,P,AB+AC+BC,AM+ BM+AN+NC+6,N,AM+ MP+AN+NP+6,13+6,,,,,,,M,AM+AN+MN+6,线段与角求相等，先找全等试试看。
图中有角平分线，可向两边作垂线 线段垂直平分线，常向两端把线连 线段计算和与差，巧用截长补短法 三角形里有中线，延长中线=中线。