一、七巧板的简介七巧板也称“七巧图”、“智慧板”，是汉族民间流 传的智力玩具它是由宋代的宴几演变而来的，原为文人 的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具七巧板是 由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直 角三角形(两块小形三角形、一块中形三角形 和两○ 2 ○ 5○ 4块大形三角形)、一块正方形和一块平行四边形 ○ 6 ○ 3○ 1○ 7七巧板那简 单的结构很容易使人误认为要解决它的问题也很容易，其实这种想法是片面的 用七巧板可以拼出 1600 种以上的图案，其中有些是容易拼成的， 有一些却相当诡秘，还有一些则似是而非充满了矛盾二、七巧板的基本特征1 七七块块部件具有部件具有 1,,2,四四类线类线段共段共 23 条条,其中其中长长度度为为 1 的的线线段段 10 条条,长长度度222为为的的线线段段 6 条条,长长度度为为 2 的的线线段段 5 条条,长长度度为为的的线线段段 2 条条.2222. 七七块块部件的内角部件的内角总总和和 1620°，其中，其中 9 个直角个直角,12 个个 45°角角,2 个个 135°角角.3. 不不论论拼成哪种多拼成哪种多边边形形,其面其面积为积为常量常量 8.4. 七个部件的角最小是七个部件的角最小是 45 度，最大度，最大 135 度。
度三、拼成的多边形（*此处所指的多边形都为凸多边形）1. 三角形三角形 三角形的内角和等于 180°,由七巧板角的特征特征 4,且一定有一个直角，所以必 定内角和为 90°、45°、45°.所以拼成的三角形必为等腰直角三角形. S=8, 直角边长=4,2. 四边形四边形. 四边形的内角和等于 360°,由七巧板角的特征特征 4 和特征和特征 2，有较多情况有较多情况情况一：4 个 90 度角的矩形情况二：45 度，135 度的平行平行四边形（*情况不止这两种）证明一种情况不成立证明一种情况不成立过点过点 A A 作作 AE⊥CDAE⊥CD 与与 E,E,过点过点 B B 作作 BF⊥AEBF⊥AE 于于 F, F,连结连结 BD,BD,如图如图 10-2.10-2.设设CE=n,ED=m,CE=n,ED=m,则则 AB=AB=,AD=,AD=,BC=m-n,(n,BC=m-n,(n＜＜m)m)因为四边形面积为因为四边形面积为 8,8,所以所以n2m2S S△ABD△ABD+S+S△DBC△DBC=mn+=mn+(m+n)(m-n)=8∴(m+n)(m-n)=8∴ mm2 2-n-n2 2+2mn=16+2mn=1621∵∵ n n＜＜m∴m∴ 16=m16=m2 2-n-n2 2+2mn+2mn＞＞mm2 2-n-n2 2+2n+2n2 2 ＞＞2n2n2 2∴∴ n n2 2＜＜8,∴n=28,∴n=2 或或 n=1.n=1.当当 n=2n=2 或或 n=1n=1 时时,m,m 都不是整数都不是整数. .所以拼不出所以拼不出ACBDEF五边形五边形 内角和 540 度六边形六边形内角和 720 度四、深入探究1.能否拼成七边形和八边形？（参考文献）能否拼成七边形和八边形？（参考文献）用一副七巧板能拼出多少凸多用一副七巧板能拼出多少凸多边边形形,这这个个问题问题是是 20 世世纪纪 30 年代由日本数学年代由日本数学家提出的家提出的,最最终终由浙江大学的两位学者解决由浙江大学的两位学者解决.他他们们的的论论文文《 《关于七巧板的一个定理关于七巧板的一个定理(A Theorem on the Tangram)》 》发发表于表于《 《美国数学月刊美国数学月刊(The American Mathematical Monthly)》 》1942 年的第年的第 49 卷卷.署名署名 Fu Traing Wan 和和 Chuan Chih Hsiung. 采用的方法是采用的方法是:把七巧板先看成是由把七巧板先看成是由 16 个相同的小的等腰直角三角形即个相同的小的等腰直角三角形即“基基本三角形本三角形”所所组组成的成的,并把并把这这种三角形的直角种三角形的直角边边叫做有理叫做有理边边,斜斜边边叫做无理叫做无理边边.然后然后通通过过 4 条引理求得条引理求得这这 16 个基本三角形可能形成的凸多个基本三角形可能形成的凸多边边形数形数,在从中除去不能在从中除去不能由七巧板形成的那些由七巧板形成的那些,最后最后证证明了他明了他们们最后的定理最后的定理:由七巧板形成的凸多由七巧板形成的凸多边边形形总总共共有有 13 个个.其中三角形其中三角形 1,四四边边形形 6,五五边边形形 2,六六边边形形 4.另外，另外，这这些些图图形中形中 8 个是个是对对称的，称的，5 个是不个是不对对称的，把不称的，把不对对称凸多称凸多边边形的形的镜镜象象也包括的也包括的话话， ，总总数就是数就是 18 个，没有凸的个，没有凸的 7， ，8 边边形。
形2.能否拼成比八能否拼成比八边边形以上的凸多形以上的凸多边边形？形？根据七巧板性根据七巧板性质质四，七巧板的最大内角四，七巧板的最大内角为为 135°.对对于一个于一个 n 边边形形,有有135n≥180(n-2),得得 n≤8.所以不能拼成所以不能拼成边边数大于数大于 8 的多的多边边形形.。