精选优质文档-----倾情为你奉上立体几何专练1、如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.(I)证明：OF//平面； （思考证线面平行的方法）(II)求三棱锥的体积. （思考一下锥体的体积公式）2、如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．(1) 求证：；(2) 当面积的最小值是9时，证明平面．（线面垂直的证明，试试用两种方法做）3．如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．（1）求证：BC⊥PC； （2）求证：EF//平面PDC； （3）求三棱锥B—AEF的体积4、如图所示,三棱柱中,,平面平面,又,与相交于点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;5、如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设点为中点，求二面角的余弦值．6、已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为．M为线段PC的中点．(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．7、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值. 8、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E段AD上，且CE∥AB。
1）求证：CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积9、如图，在直三棱柱中，90°,,是的中点. （Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）若为上一点，且，求二面角的大小.10、如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体． （1）求证：平面PAB平面PCD； （2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．11、如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，，，是线段的中点1)求异面直线与直线所成的角的大小；(2)求多面体的表面积12、如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF． （1）求证：PC⊥面AEF； （2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体P—AEFG的体积13、如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点1）求证：；（2）当面积的最小值是9时，段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由14、如图，已知直四棱柱，底面为菱形，，为线段的中点，为线段的中点． （Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）当的比值为多少时，平面，并说明理由．15、如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，，交 AC 于点 M，平面，，AC＝4，EA＝3，FC＝1．（I）证明：EM⊥BF；（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值．16、已知四棱锥的底面为菱形，且，,为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到面的距离．答 案1、如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.(I)证明：OF//平面；(II)求三棱锥的体积.解：（I）四边形ABCD为菱形且， 是的中点 . 又点F为的中点, 在中，, 平面，平面 , 平面 （II）四边形ABCD为菱形, , 又，且平面 , 平面, 平面 , 平面平面.在平面内过作，则，是与底面所成的角，.在， 故三棱锥 底面上的高为，又，所以，三棱锥的体积 .2、如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．(1) 求证：；(2) 当面积的最小值是9时，证明平面．解：（1）证明：连接，设与相交于点。
因为四边形是菱形，所以 又因为平面，平面为上任意一点，平面，所以（2）连．由（I），知平面，平面，所以．在面积最小时，最小，则．，解得 由且得平面则，又由 得，而，故平面3、在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．（1）求证：BC⊥PC； （2）求证：EF//平面PDC； （3）求三棱锥B—AEF的体积解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形∴BCDC 又PD面ABCD, BC面ABCD∴BCPD, 又PDDC=D ∴BC面PDC 从而BCPC（Ⅱ）取PC的中点G，连结EG，GD，则 ∴四边形EFGD是平行四边形 ∴EF//GD, 又 ∴EF//平面PDCⅢ）取BD中点O，连接EO，则ＥO//PD， ∵PD⊥平面ABCD， ∴EO⊥底面ABCD， 4、如图所示,三棱柱中,,平面平面,又,与相交于点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;【解】(Ⅰ)由题知,,所以为正三角形,所以又因为,且，所以为正三角形,又平行四边形的对角线相交于点,所以为的中点,所以，又平面平面,且平面平面,且平面，所以平面(Ⅱ)〖解法一〗连结交于,取中点,连结,,则,又平面 所以平面,, 所以直线与平面所成角为. 而在等边中,,所以,,同理可知,,在中,所以中,,.所以与平面所成角的正弦值为. 〖解法二〗由于,平面,所以平面, 所以点到平面的距离即点到平面的距离,由平面,所以到平面的距离即, 也所以与平面所成角的正弦值为, 而在等边中,,所以,同理可知,,所以,又易证平面,所以,也所以, 所以，即与平面所成角的正弦值为.5、如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设点为中点，求二面角的余弦值．(1)证明：，则，，则得，面平面，面平面平面．（II）过作交于点，连,则为二面角的平面角，在中，，则二面角的余弦值为6、已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为．M为线段PC的中点．(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．(Ⅰ)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得PO＝，AC＝2，PA＝PC＝2，CO＝AO＝．因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，又因为AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA∥平面MDB． (Ⅱ) 解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．因为M为PC的中点，所以PC⊥BM，同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角，又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝，故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为27、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.解：(1)因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O，因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥面A1CD.因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1D.(2)连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1BC.A1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A1C.在Rt△DA1C中，A1D＝3，CD＝5，∴A1C＝4.根据S△A1CD＝A1D·A1C＝A1O·CD，得到A1O＝，在Rt△A1OB中，sin∠A1BO＝＝＝.所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为.8、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E段AD上，且CE∥AB。
1）求证：CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积解：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD， 所以PA⊥CE， 因为AB∥AD，CE⊥AB，所以CE⊥AD又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD（II）由（I）可知CE⊥AD在Rt△ECD中，DE=CD， cos45°=1，CE=CD，sin45°=1，又因为AB=CE=1，AB∥CE所以四边形ABCE为矩形 所以=又PA⊥平面ABCD，PA=1所以9、如图，在直三棱柱中，90°,,是的中点. （Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）若为上一点，且，求二面角的大小.解法一：（Ⅰ）取的中点，连，则∥，∴或其补角是异面直线与所成的角. 设，则，.∴.∵在中，.∴异面直线与所成的角为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.因为三棱柱是直三棱柱，∴平面，又∵? ∴.∴.? ∴～.∴.即得，所得是的中点.连结，设是的中点，过点作于，连结，则.又∵平面平面? ∴平面.而，∴，∴是二面角的平面角.由得.即二面角的为.∴所求二面角为.解法二：（Ⅰ）如图分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设，则、、、 、. ∴，∴.∴异面直线与所成的角为.（Ⅱ）设，则，由得，知，∴.设平面的一个法向量为，则， ∵， ∴，取，得.易知平面的一个法向量， ∴.∴二面角的大小为. （）.10、如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体． （1）求证：平面PAB平面PCD； （2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）证明：，又二面角P-AB-D为 ，又AD=2P。