第二章 连续信号与系统的时域分析,2.1连续时间基本信号 2.2卷积积分 2.3系统的算子方程 2.4系统的零输入响应,2.5系统的零状态响应 2.6系统响应的经典解法 2.7完全响应的分解,第二章 连续信号与系统的时域分析,2.1 连续时间基本信号,三种连续时间基本信号，分别用于连续信号与系统的 时域、频域、和复频域分析1.奇异信号,2.正弦信号,也称为虚指数信号2.1 连续时间基本信号,2.1 连续时间基本信号,3.复指数信号,,2.2 卷积积分,一、定义,用图形方式理解卷积运算过程，包括以下5个步骤：,二、图解机理,,2.2 卷积积分,2.2 卷积积分,卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）性质1.卷积代数,满足乘法的三律： 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)],三. 卷积积分的性质,2.2 卷积积分,性质2.奇异函数的卷积特性,1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t),证：,f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0),2. f(t)*δ’(t) = f’(t),证：,f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t),3. f(t)*ε(t),ε(t) *ε(t) = tε(t),2.2 卷积积分,性质3.卷积的微积分性质,1.,证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)] = [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t),2.,证：上式= ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t),3. 在f1(– ∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t),2.2 卷积积分,例1： f1(t) = 1， f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t),解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)=,注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) = 0* f2(–1)(t) = 0 显然是错误的。
例2：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t),解法一： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t),f1’(t) =δ (t) –δ (t –2),f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2),2.2 卷积积分,解：,f1(t) =ε (t) –ε (t –2),f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t),ε (t) * f2(t)= f2 (-1)(t),性质4.卷积的时移特性,若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2),前例：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t),利用时移特性，有ε (t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2),f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2),2.2 卷积积分,例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t),解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1),f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1),由于ε (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2),2.2 卷积积分,求卷积是本章的重点与难点。
求解卷积的方法可归纳为： （1）利用定义式，直接进行积分对于容易求积分的函数比较有效如指数函数，多项式函数等 （2）图解法特别适用于求某时刻点上的卷积值 （3）利用性质比较灵活 三者常常结合起来使用2.2 卷积积分,四.常用的卷积积分公式,,2.3 系统的算子方程,一、微分、积分算子,1.定义,2.运算规则,(1)某些代数运算,（交换）,（相乘、因式分解）,2.3 系统的算子方程,,2.3 系统的算子方程,(2)方程两边P的公因子不能随意消去,,,,,(3)分式中分子、分母中P的因子不能随意消去,即微、积分运算次序不能随意颠倒 显然，对于零初始条件信号，则不受规则(2)、(3)的限制一般而言,2.3 系统的算子方程,二、算子方程与传输算子,算子方程,简记为,形式上改变为,2.3 系统的算子方程,其中,采用算子方程、传输算子描述系统，形式有所不同， 其本质仍是微分方程2.3 系统的算子方程,例2：已知连续系统框图， 求H(P). 设辅助变量X(t), 则有,三、电路算子方程的建立,元件、电路的算子模型 算子方程建立方法：直接法、等效法和方程法2.4 系统的零输入响应,一、系统初始条件,（完全响应的分解性）,,2.4 系统的零输入响应,2.4 系统的零输入响应,,注意：,2.4 系统的零输入响应,二、零输入响应算子方程,2.4 系统的零输入响应,故有,,三、简单系统的,2.4 系统的零输入响应,可见,,同理,,2.4 系统的零输入响应,四、一般系统的,2.4 系统的零输入响应,,2.5 系统的零状态响应,2.5 系统的零状态响应,一、 的 分解,2.5 系统的零状态响应,图形理解：,2.5 系统的零状态响应,,二、基本信号 激励下的,1.冲激响应h(t),2.h(t)的计算,2.5 系统的零状态响应,,,,2.5 系统的零状态响应,2.5 系统的零状态响应,2.5 系统的零状态响应,附录A,附录A,2.5 系统的零状态响应,三、一般信号 激励下的,2.5 系统的零状态响应,四、 的另一计算公式,2.阶跃响应,2.5 系统的零状态响应,2.5 系统的零状态响应,例1：如图系统，已知,解：,或者,2.5 系统的零状态响应,2.5 系统的零状态响应,(5),显然，系统是非因果系统。
2.6 系统响应的经典解法,2.6 系统响应的经典解法,因为零输入响应和齐次解均为系统齐次微分方程的解，故其求解方法与解的函数形式相同，但由于采用不同初始条件，两者的系数有所差别齐次解,特解,,2.7 完全响应的分解,2.7 完全响应的分解,2.7 完全响应的分解,2.7 完全响应的分解,,。