随机变量的数数字字特特征征是与其分布有关的某些数值，例如平均 值、最大可能值等，它们反映了随机变量某些方面的特征8/13/202410 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 也称数学期望值（expectation或expectedvalue），或随 机变量的一阶矩（thefirstmoment）n 它是指随机变量取值的平均数，表示随机变量取值的集中 程度一般以E（X）或μ表示1 1．平均值．平均值（mean或meanvalue）8/13/202411 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述设X为离散型随机变量,其概率分布如表4-2所示:表表4-2 随机变量的概率分布随机变量的概率分布l 离散型随机变量的平均值离散型随机变量的平均值：离散型随机变量的平均值为：l 连续型随机变量的平均值连续型随机变量的平均值：8/13/202412 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 若某一随机变量的方差为0，则表示该随机变量没有偏差， 此时随机变量退化为一个确定值因此，确定性变量可认为 是方差为零的随机变量，是随机变量的一种特殊形式。
2 2．方差和标准差．方差和标准差（variance） 方差的定义为： 表示随机变量相对于均值的平均分散和变动程度8/13/202413 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述方差的单位是随机变量单位的平方为了保持与随机变量单位的一致性，常以方差的平方根作为衡量分散性的尺度n将 方 差 的 平 方 根 称 为 随 机 变 量 的标标 准准 差差 （（ s st ta an n d d a ar rd d deviationdeviation）），通常以σ表示，即：8/13/202414 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 为了更好地描述随机变量的分散程度分散程度，引入变异系数的概 念，也称变化系数变化系数或变差系数变差系数变异系数是指随机变量的 标准差与平均值的比值，即： 3 3．变异系数．变异系数（coefficient of variation） 由于标准差与平均值的量纲相同，变异系数是无量纲量变异系数是无量纲量， 它不受数据量纲的影响变异系数的数值越小，则随机变变异系数的数值越小，则随机变 量的分散性越小量的分散性越小。
8/13/202415 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 模数也称众数众数，它是指随机变量的频率（或频数）取得某 个峰值时的随机变量的值 当随机变量的概率密度函数有多个峰值时，通常取最大峰 值作为随机变量的模数 对于离散型随机变量，观测值出现最多的数即为模数；对 于连续型随机变量，模数是指概率密度函数为极大值时的x值，即概率密度函数峰值所对应的x值4 4．模数．模数（modenumber）8/13/202416 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 中间值也称中位数中位数 对于随机变量X，若存在一个点xm使得随机变量的一半数值 落在该点以下，则称xm点为随机变量的中间值，即与F（x） =0.5相对应的点 也可以由累积分布函数曲线求得随机变量的中间值 5 5．中间值．中间值（medium value）8/13/202417 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述4.1.4 4.1.4 常用随机分布类型及其特性常用随机分布类型及其特性 根据参数的物理意义和几何意义，可以将分布参数分为： 位置参数位置参数（location parameter） 比例参数比例参数（scale parameter） 形状参数形状参数（shape parameter） 也称为位移参数位移参数，它确定分布函数在横坐标（x轴）的取值 范围。
当位置参数发生变化时，分布函数在横坐标的位置 上会向左或向右发生偏移，而它的范围或形状不发生变化1）位置参数位置参数8/13/202418 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述图图4-8 均匀分布的位置参数均匀分布的位置参数8/13/202419 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述图图4-9 正态分布的位置参数正态分布的位置参数8/13/202420 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 比例参数用于确定在分布范围内取值大小的比例尺度 当比例参数的数值改变时，分布函数被压缩或扩张，分 布的范围发生改变，但分布的基本形状不会改变2）比例参数比例参数8/13/202421 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述图图4-10 指数分布的比例参数指数分布的比例参数8/13/202422 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述图图 4-11 正态分布的比例参数正态分布的比例参数8/13/202423 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 形状参数用来决定分布函数的基本形状，改变分布函数的 性质。
形状参数与位置参数、比例参数之间相互独立形状参数与位置参数、比例参数之间相互独立 与位置参数、比例参数相比，形状参数可以从根本上改变与位置参数、比例参数相比，形状参数可以从根本上改变 分布的形状分布的形状 一些分布（如正态分布、指数分布等）没有形状参数； 另一些分布（如γ分布、威布尔分布等）具有形状参数 （3）形状参数形状参数8/13/202424 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述图4-12 γ分布的形状参数分布的形状参数8/13/202425 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 图4-13 WEIBULL分布的形状参数分布的形状参数 8/13/202426 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述 广义γγ分布分布和WeibullWeibull分布都是三参数分布，由于具有形状 参数，它们具有很强的数据拟合能力通过改变参数数 值，可以模拟其它分布或具有与其它分布相类似的属性 γ分布可以用来模拟威布尔分布或正态分布； 当形状参数α=1时，威布尔分布演化为指数分布指数分布； 当α=3.43954时，威布尔分布接近于正态分布接近于正态分布。
8/13/202427 4.1 4.1 随机变量和随机分布概述随机变量和随机分布概述表表4-6 常用分布的参数类型常用分布的参数类型8/13/202428 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 随机数（随机数（random numbers））是随机变量的取样值，它是离 散事件系统仿真的基础和必备的建模元素n 任何离散事件系统仿真程序或模型都必须具备能够产生指定 分布的随机变量生成模块或子程序• 运行仿真程序或模型，当用户赋予某一随机变量以确定参数 的分布时，仿真系统就调用调用和生成生成相应的随机变量，以便再 现系统的随机特征 产生[0[0，，1]1]区间上均匀分布区间上均匀分布的随机数是产生随机变量的基 础，其它类型分布（如正态分布、γ分布、β分布、指数分 布等）都是在[0，1]均匀分布的基础上通过一定变换实现的8/13/202429 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法n[0，，1]区间上均匀分布的随机数区间上均匀分布的随机数[0，，1]均匀分布随机数的定义均匀分布随机数的定义•[0，1]区间上均匀分布随机变量x的概率密度函数为：其累积分布函数为：8/13/202430 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 仿真程序中的随机数序列必须具有以下统计特性：① 均匀性均匀性：随机变量在其可能取值范围中任一随机变量在其可能取值范围中任一 区间出现的概率和此区间的大小与可能值范围的比值成正区间出现的概率和此区间的大小与可能值范围的比值成正 比比。
② 独立性独立性：在某个区间内一个观测值发生在某个区间内一个观测值发生 的概率与先前已有的观测值结果无关的概率与先前已有的观测值结果无关 仿真程序中常根据确定的递推公式递推公式近似地生成随机数这些 随机数并不能严格地满足“均匀性均匀性”和“独立性独立性”准则，不是真 正的随机数，又能在某种程度上表现出随机性，常称之为 伪随机数伪随机数4.2.1 4.2.1 随机数的特随机数的特性性n 用于产生[0，1]区间均匀分布随机数的专门程序专门程序称为—— 随机数发生器随机数发生器8/13/202431 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 随机数发生器的随机数发生器的评价指标评价指标：（1）随机性随机性: : 有较好的独立性与均匀性有较好的独立性与均匀性, ,与真实的随机数具有与真实的随机数具有相相 同或相近的数字特征同或相近的数字特征, ,如数学期望、方差等如数学期望、方差等（2）长周期长周期: 无重复出现的随机数序列长度称周期无重复出现的随机数序列长度称周期3）可再现性可再现性: 便于再现仿真状态。
便于再现仿真状态 （4）高计算效率高计算效率: 仿真过程要求短时间内产生大量随机数仿真过程要求短时间内产生大量随机数 8/13/202432 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 均匀分布的随机数的产生方法均匀分布的随机数的产生方法（1）平方取中法平方取中法 （3）混合同余法混合同余法（2）线性同余法线性同余法（4）乘同余法乘同余法（5）取小数法取小数法8/13/202433 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法 (1)(1)平方取中法平方取中法n由冯·纽曼(John von Neumann)在40年代中期提出的n方法：首先从某个初始的种子数开始,求出这个数的平方,取这个平方数的中间几位作为随机数序列中的第2个数；再求出第2个数的平方，又取这个平方数的中间几位作为随机数序列中的第3个数；不断按这个方式继续此算法，即可得到相应的伪随机序列4.2.2 4.2.2 随机数发生器的设计随机数发生器的设计8/13/202434 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法n例例: :利用平方取中法产生4位数的随机数序列，种子数取为xo=3187计算过程为：计算过程为： xo＝ 3187 , (3187)2＝10156969 x1＝1569 , (1569)2＝02461761 x2＝4617 , (4617)2＝21316689 x3＝3166 , (3166)2＝10023556 x4＝0235 将此过程继续下去将此过程继续下去，，便可以得到一系列随机数。
便可以得到一系列随机数n缺点n伪随机数序列的重复周期通常较短n对于较长的伪随机数序列，可能无法通过随机性的统计检验n当0在任何时侯生成之后，其后产生的数都将为0，称为“退化”，如果这种现象在一个较复杂的仿真研究过程中出现，它将会使仿真分析人员误入歧途8/13/202435 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法（（2 2）） 线性同余法线性同余法：：式中，m为模数（modulus） a为乘数（multiplier） c为增量（increment）其中，Z0为种子数，由上式产生一系列数Z1， Z2，…, Zi； 令 yi＝Zi/m 则得到区间[0，1]上的随机数yi（i＝1，2，…）n 线性同余法在1951年由荣默尔(Lehmer)首先提出目前大多 数随机数发生器都采用这种方法n 递推关系8/13/202436 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法线性同余法举例线性同余法举例（m=24， a=13，c＝17，Z0＝5）yiyi8/13/202437 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法n 线性同余法的缺点§ yi并不是真正意义上的均匀分布随机数；§ 当模数m较小时，yi只能取到有限个数值。
为取得近似均匀分 布的数值，m通常取得很大（如m≥109）§ 由于yi只能取到有限个数值，随机数发生器会出现周期性8/13/202438 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法（3）混合同余法（混合同余法（Mixed congruenceMixed congruence））（4）乘同余法（乘同余法（Multiplicative congruenceMultiplicative congruence））（5）取小数法取小数法§ 取小数法又可分为平方取小数法平方取小数法和开方取小数法开方取小数法§ 平方取小数法平方取小数法：将前一次随机数平方后的数，取其小数点后第 一个非零数字后面的尾数作为下一个所求的随机数8/13/202439 4.2 4.2 随机数的生成方法随机数的生成方法§ 开方取小数法：开方取小数法：将前一次随机数开方后的数，取其小数点后 第一个非零数字后面的尾数为下一所求随机数8/13/202440 4.3 4.3 随机数发生器的检验随机数发生器的检验§ 随机数发生器的检验方法随机数发生器的检验方法：① 数字特征检验数字特征检验：检验该随机分布的参数估计值与[0，1]均匀分 布的或称理论值的差异是否显著。
③ 独立性检验独立性检验：检查随机数序列u1，u2，…，un前后各项的统 计相关是否显著② 分布均匀性检验分布均匀性检验：检查随机数序列u1，u2，…，un的 实际频率 与理论频率的差异是否显著(频率检验)l 从理论上来说，随机数只是随机变量的一组取样值，也就是随机变量的一个样本，样本值是否能够反映随机变量？这就需要对产生的随机数进行检验l 作为[0，1]均匀分布随机数产生之后，我们需要对在这一区间上随机数样本值进行检验检验，检验其是否有较好的独立性独立性和均匀性均匀性8/13/202441 4.3 4.3 随机数发生器的检验随机数发生器的检验 1 数字特征检验数字特征检验p 数字特征检验是采样平均值、方差与理论平均值、方差差异 的显著性检验p 在(0，1)区间上均匀分布的随机变量X和X2的平均值及方差分别为：8/13/202442 4.3 4.3 随机数发生器的检验随机数发生器的检验p 如果N个随机数x1，x2，…，xn是X的N个独立观测值，令则它们的平均值和方差为:8/13/202443 4.3 4.3 随机数发生器的检验随机数发生器的检验p 由数理统计理论中的中心极限定理，可知统计量渐近地服从正态分布N(0,1)。
u 因此，只要有一组随机数序列，即可求上述因此，只要有一组随机数序列，即可求上述u1、、u2u 当给定显著性水平（如当给定显著性水平（如α=0.05 )后，若有后，若有| u i |>1.96，表示差，表示差 异显著，则应拒绝异显著，则应拒绝X为为(0，，1)均匀分布的随机数均匀分布的随机数8/13/202444 4.3 4.3 随机数发生器的检验随机数发生器的检验2 分布均匀性检验分布均匀性检验p 分布均匀性检验又称为频率检验，是对经验频率和理论频率之间的差异进行检验p 方法：n 把[0，1]区间划分成k等分则x i值落在任一小区间的概率P i均应等于这些小区间的长度1／k，故N个x i值落在任何一个小区间的平均数为m i =N／k，称理论频率n 设实际上x i中属于第i个小区间的数目为n in 计算统计量u显然，若显然，若n i=m i，则，则χ2=0，实际频率与理论频率一致实际频率与理论频率一致χ2的大的大小反映了随机数的均匀性程度小反映了随机数的均匀性程度8/13/202445 4.3 4.3 随机数发生器的检验随机数发生器的检验3 独立性检验独立性检验p 用于检验随机数前后各项之间是否独立。
p 以相关系数进行判断两个随机变量的相关系数反映了它 们之间的线性相关程度p 相关系数为0是随机数相互独立的必要条件p 相关系数大小可以衡量随机数的相关程度对于给定的随机数对于给定的随机数xixi，前后距离为，前后距离为K K的样本相关系数为：的样本相关系数为： 式中：式中：8/13/202446 4.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理 随机变量的实现原理随机变量的实现原理§ 如前所述，产生[0，1]区间上均匀分布的随机数是生成其它类 型随机变量的基础§ 随机变量生成算法应具备的特点：② 效率（效率（efficientefficient））： 占用内存小，执行时间短① 精确性（精确性（exactnessexactness））：满足一定的精确度要求③ 鲁棒性（鲁棒性（robustnessrobustness））：健壮，适应8/13/202447 4.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理① 逆变法逆变法§ 随机变量的生成算法随机变量的生成算法：8/13/202448 4.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理逆变法生成连续随机变量原理图8/13/202449 4.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理离散随机变量的生成原理 当X为离散随机变量时，由于离散随机变量的分布函数也是离散的，不能直接利用反函数获得抽样值。
其解法如下： 设X为离散随机变量，取值及概率为p(x1),p(x2),…,p(xn),且有 0
n 方法步骤：设随机变量X的概率密度f(x)中的X值的上、下限为a、b，f(x)的上界为c，则取舍法的步骤为：l 产生两个独立的（0，1）均匀分布的随机数u1,u2；l 计算x0=a+u1(b-a),y0=cu2;l 如果y0<=f(x0)，则x0为所求随机数l 重复此过程8/13/202453 4.4 4.4 随机变量的生成原理随机变量的生成原理abcxyon 方法说明：在矩形中产生均匀分布点，点落在阴影部分时为所求随机数，符合所需要的分布n 方法特点：不使用累积分布函数；效率问题8/13/202454 。