精选优质文档-----倾情为你奉上3.3 垂径定理第1课时 垂径定理知识点一 圆的对称性圆是________图形，每一条____________都是它的对称轴．1．圆有________条对称轴，它的对称轴是________．知识点二 垂径定理垂直于弦的直径________，并且平分________．圆心到圆的一条弦的距离叫做________．2．如图3－3－1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连结BC，BD，则下列结论中不一定正确的是( )图3－3－1A．AE＝BE B.＝C.＝ D．OE＝DE3．如图3－3－2，在⊙O中，半径OB＝5 cm，OC⊥AB，OC＝3 cm，则弦AB的长为________ cm.图3－3－2类型一 运用垂径定理探索圆中的计算问题例1 [教材补充例题] 如图3－3－3，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于点M，CD＝15 cm，OM∶OC＝3∶5，求弦AB的长． 图3－3－3【归纳总结】垂径定理的基本模型如图3－3－4，在⊙O中，OC⊥AB⇒r2＝＋h2.图3－3－4类型二 运用垂径定理探索圆中的证明问题例2 [教材补充例题] 如图3－3－5，AB，CD是⊙O的弦，∠A＝∠C.求证：AB＝CD.图3－3－5【归纳总结】利用垂径定理证明的常见辅助线作圆心到弦的垂线段，它在沟通半径与弦中起着桥梁的作用．类型三 运用垂径定理解决实际问题例3 [教材例2变式] 要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10 mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8 mm(如图3－3－6)，求此小孔的直径d.图3－3－6【归纳总结】弓形问题的基本模型如图3－3－7，弓形的半径为r，弦长为a，弓高为h，则：①r2＝＋(h－r)2；②r2＝＋(r－h)2.图3－3－7半径为5 cm的圆中有两条弦，弦长分别为3 cm，4 cm，求两弦之间的距离．解：如图3－3－8，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连结OD，OB.在Rt△OED中，OE＝＝＝3(cm)，OF＝＝＝4(cm)，∴EF＝4－3＝1(cm)，∴两弦之间的距离为1 cm.以上解法正确吗？若不正确，请改正．图3－3－8课时作业(十七)[3.3 第1课时 垂径定理] 一、选择题1．如图K－17－1，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是( )图K－17－1A．CE＝DE B．AE＝OEC.＝ D．△OCE≌△ODE2．如图K－17－2所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为( )图K－17－2A．5 B．7 C．9 D．113．2017·金华如图K－17－3，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形的弦AB的长为( )图K－17－3A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm4．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( )A．3 B．3 C. D. 5．如图K－17－4，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长为( )图K－17－4A．4 B．6 C．2 D．86．圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则两弦AB，CD之间的距离是( )A．7 cm B．17 cmC．12 cm D．7 cm或17 cm二、填空题7．2017·大连如图K－17－5，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3 cm，则⊙O的半径为________cm.图K－17－58．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图K－17－6所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长”. 同学们根据题意可得CD的长为________.图K－17－69．在半径为2的圆中，弦AC的长为1，M为AC的中点，过点M的最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为________．10．2016·绍兴如图K－17－7①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.图K－17－711．2017·雅安⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P是弦AB上一点，则OP长的取值范围是________．12．2017·遵义如图K－17－8，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________.图K－17－8三、解答题13．如图K－17－9，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作OE⊥AC于点E，OD⊥AB于点D，连结DE，你认为DE与BC有什么关系？写出你的结论和理由.图K－17－914．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－17－10)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．图K－17－1015．如图K－17－11所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，BC长为半径作圆交AB于点D，求AD的长．图K－17－11探究应用如图K－17－12所示，已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求AB2＋CD2的值．图K－17－12详解详析【学知识】知识点一 轴对称 过圆心的直线1．无数 过圆心的直线知识点二 平分这条弦 弦所对的弧 弦心距2．[答案] D3．[答案] 8【筑方法】例1 [解析] 这是应用垂径定理进行计算的一个基础题．先求出OM的长，再根据勾股定理求得AM的长，再由垂径定理得AB＝2AM.解：连结OA.由垂径定理，得AM＝BM.∵CD＝15 cm，∴OC＝7.5 cm.又∵OM∶OC＝3∶5，∴OM＝4.5 cm.在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM＝＝6(cm)，即AB＝12 cm.例2 [解析] 首先作出两弦AB，CD的弦心距OE，OF，由垂径定理得AE＝AB，CF＝CD，然后利用全等三角形证明AE＝CF.证明：如图，过点O分别作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，则AE＝AB，CF＝CD.∵∠A＝∠C，∠AEO＝∠CFO＝90°，OA＝OC，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴AB＝CD.例3 解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，DO的延长线交⊙O于点C，连结OB.由垂径定理得CD垂直平分AB.CD＝h＝8 mm，OD＝CD－CO＝3 mm.在Rt△ODB中，BD＝＝＝4(mm)，∴AB＝2BD＝8 mm.答：此小孔的直径d为8 mm.【勤反思】[小结] 平分 弧 圆心[反思] 不正确．还有一种情况，即EF＝OE＋OF＝7 cm.如图所示．故两弦之间的距离为1 cm或7 cm.【课时作业】[课堂达标]1．[答案] B 2．[答案] A3．[答案] C 4．[答案] C5．[解析] A 连结OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∴∠COD＝∠B＝60°，∴∠OCD＝30°.在Rt△COD中，OC＝4，∠OCD＝30°，∴OD＝OC＝2，CD＝＝2 ，∴AC＝2CD＝4 .6．[全品导学号：][解析] D 分弦AB和CD在圆心O的同侧和异侧两种情况进行讨论．7．[答案] 58．[答案] 26[解析] 连结OA，由垂径定理可知AE＝AB＝5.若设⊙O的半径为r，则OE＝r－CE＝r－1，于是由勾股定理可得r2＝(r－1)2＋52，解得r＝13，所以⊙O的直径CD的长为26.9．[全品导学号：][答案] 210．[全品导学号：][答案] 25[解析] 如图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O的半径为R，∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝20 cm，∠ADO＝90°.在Rt△AOD中，∵OA2＝OD2＋AD2，∴R2＝(R－10)2＋202，解得R＝25.故答案为25.11．[答案] 4≤OP≤5[解析] 当点P与点A或点B重合时，OP为半径，故OP最大为5，当OP⊥AB时，根据“垂线段最短”可得此时OP最小．根据垂径定理可知AP＝BP＝3，结合勾股定理可得OP＝＝4.12．[答案] [解析] 如图，过点O作ON⊥CD于点N，连结OC，∵∠CMA＝45°，∠ONC＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．∵AB＝4，M是OA的中点，∴OM＝1，根据勾股定理解得ON＝，在Rt△CON中，CN＝＝＝，∴CD＝2CN＝.13．解：结论：DE綊BC.理由：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝BD，AE＝EC，∴DE綊BC.14．解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E.易知AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.(2)∵由(1)可知OE⊥AB且OE⊥CD，连结OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝2 ，AE＝＝8，∴AC＝AE－CE＝8－2 .15．解：过点C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为BD的中点．∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CM，∴CM＝2.4.在Rt△BCM中，根据勾股定理，得BC2＝BM2＋CM2，即9＝BM2＋2.42，解得BM＝1.8，∴BD＝2BM＝3.6，∴AD＝AB－BD＝5－3.6＝1.4.[素养提升][全品导学号：][解析] 连结AO，DO，OE，过点O作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理，推知OM2＝DO2－DM2＝4－()2，ON2＝OA2－AN2＝4－()2，所以OM2＋ON2＝4－()2＋4－()2＝1，由此解得AB2＋CD2＝28.解：如图，连结AO，DO，OE，过点O作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N.∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，∴四边形OMEN为矩形．∵OM2＋ME2＝OE2(勾股定理)，且ME2＝ON2，∴OM2＋ON2＝OE2.∵OM2＝DO2－DM2＝4－()2，ON2＝OA2－AN2＝4－()2，∴OM2＋ON2＝4－()2＋4－()2＝1，∴AB2＋CD2＝28.[点评] 本题考查的是垂径定理和勾股定理．解决本题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将AB2＋CD2联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．专心---专注---专业。
