九年级 上册,22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质,活动一，温故知新,1. 一般地，形如y=___________（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x 的二次函数 2、一次函数的图像是_________ 3、画函数图象的主要步骤是①________②_________③________.,喷泉(1),,z x xk,图片欣赏,z x xk,,画函数y=x2的图像,解: (1) 列表,(2) 描点,,,,,,,,,,根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图像.,y=x2,活动二，探究新知,请画函数y=－x2的图像,解:(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线 z```xxk,,,根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=-x2的图像.,,,,,,,,y=－x2,活动二，探究新知,,,从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.,这样的曲线叫做抛物线.,y=x2的图像叫做抛物线y=x2.,y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.,实际上,二次函数的图像都是抛物线.,它们的开口向上或者向下.,一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c.,二次函数的图像,还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.,抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.,抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.,y=x2,y=－x2,在同一直角坐标系中画出函数y=x2和 y=2x2的图像,解:(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,,,,,,,,,,8,…,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,…,4.5,,,,,,,,,,,,,,,函数y= x2,y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?,观察,不同点:,共同点：开口向上;,除顶点外,图像都在x轴上方,开口大小不同;,活动二，探究新知,在同一直角坐标系中画出函数y=－ x2和y=－2x2的图像,解:(1)列表,(2)描点,(3)连线 zxx````k,,,,,,,,,,,,,,,,,函数y=- x2,y=-2x2的图像与函数y=－x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?,观察,共同点:,不同点:,开口向下;,除顶点外,图像都在x轴下方,开口大小不同;,,,,,,,,活动二，探究新知,归纳,一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.,当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小,当a<0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大;,在同一坐标系内,抛物线y=ax2与抛物线y=－ax2是关于x轴对称的.,a>0,a<0,,,,,,,当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 增大当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 增大当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小活动二，探究新知,1、函数,的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，最 值是 2、函数,的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，最 值是 ． 3.若二次函数y＝ax2的图象过点(1,－2),则a的值是___________.,4.二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下,则m_______. 5.如图,①y＝ax2②y＝bx2③y＝cx2④y＝dx2比较a.b.c.d的大小,用“＞”连接.__________,活动四，巩固练习,,已知抛物线,. （1）当,（2）当,（3）若点C的坐标为（0,8），过C作x轴的平行线，交抛物线与A，B两点（A在B的左边），求AB的长，并求出△ABO的面积S△ABO,时，求y的值；,时，求x的值.,活动四，拓展延伸,已知抛物线,经过A,. (1)求抛物线的解析式 (2)若点B（1，n）也在抛物线上，试求n的值并说明△ABO的形状. *（3）除O点外，抛物线上是否还存在一点P，使△PAB为等腰 三角形？若存在求出点P坐标，若不存在，请说明理由.,课外作业,1、函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;,2、函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),3.已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式,m2+m,解: 依题意有:,m+1>0 ①,m2+m=2 ②,,解②得:m1=－2, m2=1,由①得:m>－1,∴ m=1,此时,二次函数为: y=2x2,,课外作业 4.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2.,（2）因为 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上小结,1. 二次函数的图像都是抛物线.,2. 抛物线y=ax2的图像性质:,(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;,当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;,(3)当a>0时，a越大,抛物线的开口越小;,(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.,当a<0时，a越大,抛物线的开口越大;,二次函数图象的知识归纳小结,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而增大当x0时， y随着x的增大而减小x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,,抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.,。