实验四 脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR滤波器n 实验学时：2学时n 实验类型：设计、验证一 、实验目的 1、熟悉脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR滤波器的原理2、掌握脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR滤波器的具体设计方法、步骤3、观察实验现象，比较脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR滤波器的特点4、熟悉impinvar，freqz，butter，bilinear等函数的应用二、实验原理1． 脉冲响应不变法用数字滤波器的单位脉冲响应序列模仿模拟滤波器的冲激响应,让正好等于的采样值，即，其中为采样间隔，如果以及分别表示的拉式变换及的Z变换，则2．双线性变换法 S平面与z平面之间满足以下映射关系：s平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完全映射到z平面的单位圆内双线性变换不存在混叠问题 双线性变换是一种非线性变换 ，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正 以低通数字滤波器为例，将设计步骤归纳如下：1. 确定数字滤波器的性能指标：通带临界频率、阻带临界频率、通带波动、阻带内的最小衰减、采样周期、采样频率 ；2. 确定相应的数字角频率，；； 3. 计算经过预畸的相应模拟低通原型的频率，，；4. 根据Ωc和Ωr计算模拟低通原型滤波器的阶数N，并求得低通原型的传递函数； 5. 用上面的双线性变换公式代入，求出所设计的传递函数； 6. 分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。
3、IIR低通、高通、带通数字滤波器设计采用双线性原型变换公式：变换类型 变换关系式 备 注 低通 高通 带通 ：带通的上下边带临界频率 三、实验内容设采样周期T=250μs（采样频率fs =4kHz），用脉冲响应不变法和双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹滤波器，其3dB边界频率为fc =1kHz根据实验结果，比较两种方法的优劣MATLAB程序如下： [B,A]=butter(3,2*pi*1000,'s'); [num1,den1]=impinvar(B,A,4000); [h1,w]=freqz(num1,den1); [B,A]=butter(3,2/0.00025,'s'); [num2,den2]=bilinear(B,A,4000); [h2,w]=freqz(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),'-.',f,abs(h2),'-'); grid; xlabel('频率/Hz ') ; ylabel('幅值/dB') 说明;(1) [b,a]=butter(n,Wn,'s')，该函数设计一个n阶的低通模拟的Butterworth滤波器，其截止角频率为Wn rad/s。
它转换得到滤波器的系数a、b是n+1行的向量，其中“s”按降幂的次序排列，且其传递函数来自下式：(2)在MATLAB中，可分别用impinvar 和bilinear实现从模拟滤波器到数字滤波器的脉冲响应不变映射和双线性映射，调用格式为：[b,a]=impinvar(c,d,fs)；脉冲响应不变法将H(s)→H(z)[b,a]=bilinear(c,d, fs)；双线性变换法将H(s)→H(z)其中，c、d分别为模拟滤波器H(s)的分子和分母多项式系数向量；fs为采样频率（Hz），缺省值fs=1Hz；b、a分别为数字滤波器H(z)分子和分母多项式系数向量3)、求解数字滤波器的频率响应[H,w]=freqz(B,A,N) B和A分别为离散系统的系统函数H(z)分子、分母多项式的系数向量，N为正整数，返回量H则包含了离散系统频率响应在 0~pi范围内N个频率等分点的值，向量w则包含范围内N个频率等分点调用中若N默认，默认值为5124）程序说明程序中第一个butter的边界频率2π×1000rad/s，为脉冲响应不变法原型低通滤波器的边界频率；第二个butter的边界频率2/T=2/0.00025，为双线性变换法原型低通滤波器的边界频率，此值是通过预畸变得到的。
四、实验报告要求1、报告中要给出实验的MATLAB程序，并对每个语句给出注释，说明语句作用2、简述实验目的和原理3、给出手工理论计算的脉冲响应不变法和双线性变换法设计的三阶巴特沃兹滤波器的频率响应和系统函数，并与实验结果进行比较4、给出收获和体会。