聚焦2008四川高考）第11讲：函数的图像j、知识梳理■识图用图（数形结合）一次函数与二次函数 反比例函数指数与对数函数基本函数的图像0（一）知识框图图像的应用A平移变换J对称变换卜的V=i函数匆像伸缩变换变「确定函数的定义域V化简函数解析式八值域描点法作图』值域讨论函数的性质2单调性（二）重点难点I画函数的图像i奇偶性与周期性重点：（1）熟练基本函数的图像；（2）掌握函数图像的初等变换；（3）识图与用图（数形结合）难点：（1）复杂的图像变换；（2）数形结合讨论综合问题二、点解读与例（考）题（一）作函数的图像1'函数图像：在平面直角坐标系中，以函数y=f（X）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点（x，y）的集合，就是函数y=f（x）的图像，它包含两方面含义：（1）图像上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x）（纯粹性）；（2）满足y=f（x）的每一组对应值x,y为坐标的点（x，y）均在图像上（完备性）；函数图像是函数关系的一种直观表达形式，它从形”的角度（方面）刻画了函数的变化规律，通过图像可形象反映函数的性质，因此，函数图像是研究函数的重要工具，是解决诸多数学问题的有力武器1）描点法：作函数图像最基本的方法，因函数图像是由点{（x,y）|y=f（x）,XeD}组成。
所以从理论上讲，禾u用描点法总能作出函数的图像，其基本程序：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）；④利用基本函数的图像画出所求函数的图像2、利用基本初等函数的图像的变换作图 （1 ）平移变换y_f（x）h>左移y=f (x+h)（2 ）纵向平移是像在改变右移注：平移实质（1）横向平移是原像在改变；（2）伸缩变换y=f（X）*10#卜y甘x）/（⑴y=f（X）•斛一y=Af（X）（3）对称变换.（X）x轴对称■y=f仅）y=f（X）.轴对机hy=f（X）直线x=a对称卜y=f（2a-X）y=f（x）直线上电整以巴,保留y轴右y=f边图像，作其系口y二f（X）对称的图像，然后去掉y轴左边图像>y= - f（冈）f（）保留X轴上方的图像，将X轴v=，x）下方的图像翻折到X的上方-fy=|f(x)|【例1】作出下列函数的大致图像:(1)y=log2|x|; (2) y=|log2(x- 1)；(3)y=-2x； (4)y=2+ . 3 J X 131+ （图像如图X 1yy乙x（图像如图丁）解析】（1）y=log2X（x>0）作其关于丫轴对称的部分y=loQ2lxl（图像如图甲）；4*、、右移一一个单位才(2)(1)y=log2X(x>0!'y=log2(x—1)(3)由y=2-=—1+―3知，X1XX1y=3左移一个单位，下移一个单位y_X丙）；（4）y=.x存彩一1个单美考席由秘芈」口上修用卜里"#y=2+ (二)识图图像信息可以全面地考查学生的数学素质和能力，解决方法灵活多样的问题是拉开档次的一种重要题型，也是近几年高考命题的一个热点，常见的考试题型有：(1)已知函数的解析式，判断其对应的图像；(2)已知函数的图像，求其解析式；(3)已知函数的图像，判断其有关的性质。
[例2](2003年北京高考试题)如图所示，fi(X)(i=1，2，3，4)是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[01]中任意的X1和X2,任意的实数人€[0,1],f[人Xi+(1—人)X2]W入f(Xi)+(1—人)f(X2)恒成立的”只有([0,1],于是令人二一，则不等式即f(Xj ①于是依据y=f(X)的凹凸性可以知道y卓【分析】利用特殊值法，因为人€答案A正确，这是函数凹凸性的基本应用[例3](1)已知函数f(X)=ax3+bx2+cx+d像如图，则((A)(C)b€(一m,b€(1,2))0)(B)(D)b€( 0,b€( 2,1)+ m)Q)X已知函数f (X)二一A(a>0,1),在同一直角坐标系中,y=f 1 (x)与y=akil的图像如图,只可能是()【解析】(1)(定量法)，依据图像可知，f (0) =0 , f (1) =0, f (2)=0,即rd=0ta+b+c+d=O，解得a=,c=—2b,-8a+4b+2c+d=0所以f(X)=»x3+bx22bbx=—x(x—1)(x—2),当x>2时，有f(x)〉0,所以bvO，故答案A正确2)对于结论A，假定直线y=f1(X)=ax+1是正确的，由此可得0vav1，这时丫=””在(一汽1)上为增函数，在(1,十八)上为减函数，所以y=Rx」在(一a,1)的图像是错误的，从而答案A是不正确的，利用同样的方法知B和D都不正确。
故答案C正确三)函数图像的对称性与函数的单调性、周期性、奇偶性等的内在联系(1)若定义在R上的函数f(X)关于直线x=a或x=b(b〉a)都对称，则f(X)为周期函数，2b-2a是它的一个周期(不一定是最小正周期)；(2)若定义在R上的函数f(x)关于点(a,6和(b,c)(b〉a)成中心对称，则f(X)为周期函数，2b-2a是它的一个周期(不一定是最小正周期)；(3)若定义在R上的函数f(x)关于点(a、c)成中心对称，又关于直线x=b(b〉a)成轴对称，则f(X)为周期函数，4b-4a是它的一个周期(不一定是最小正周期)；(4)若奇函数(偶函数)f仪)的图像中存在一条对称轴x=a(0)对称，则f(x)为周期函数等式：① f (b)-② f (b)- ③f但)一④ f (a)— (A)①与③f(— a) > gf(—a) v gf(— b) > gf(— b) > g(B)②与③【例4】(全国高考题)定义在R上的奇函数f白)为增函数，偶函数g(X)在［0,+a)的图像与f仪)的图像重合,设a>b>0,给出下列不(a)-g(—b);(a) —g(—b);(b)-g(-a)；(b) —g(—a)。
其中正确的是()(C)①与④(D)②与④【解析】由f(X)为奇函数，得f(—x)=—f(X)，令x=0，得f(0)=0,由f仪)为R上的增函数且a>b>0可知，f(a)>f(b)>f(0),由已知，当x>0时，f⑶=g (a), f (b) =g (b)a) - g (- b) ]=f (b)+f (a)仪)=g(x)，得f所以由①：[f(b)—f(—a)]—[g—g(a)+g(b)=2f(b)>0o故①成立由②得f(b)vO； 由③得f(a)>0；由④得f(a)v0,所以只有①与③成立，故答案A正确四)函数图像的对称性及其证明(1)函数图像的对称性应注意以下几点：①奇函数的图像关于原点对称；②偶函数的图像关于y轴对称；③互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x轴对称；④y=f(-X)与y=f(x)的图像关于y轴对称；⑤y=—f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称；⑥y=—f(―X)与y=f(X)的图像关于原点对称；⑦ 二次函数y=ax2+bx+c(0)的图像关于只x=对称；2a⑧ 定义在R上的函数y=f(X)的图像关于直线x=a对称对一切实数x恒有f(a+x)=f(a-x)对一切实数x恒有f(2a—x)=f(x)(很明显偶函数的图像关于y轴对称是其特例)(2)证明函数图像的对称性，即①同一图像上的对称的证明：该图像上任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在该图像上(证明奇函数的对称性)。
②两个图像间的对称的证明：第一步：证明其中第一个图像上任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在第二个图像上；第二步：证明其中第二个图像上任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在第一个图像上熟悉一些常见的函数图像对称性的判定方法，如奇函数的图像、偶函数的图像，还有要证明函数y=f(X)的图像关于直线y=x对称，只要证明f」(X)=f(x)o若函数y=f(X)的对任意x都有f(a+x)=f(a-x),则其图像关于直线x=a对称［例5］设曲线C的方程是y=x3—x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s个单位长度后得曲线Ci1)写出曲线Ci的方程；ts(2)证明曲线C与Ci关于点A(,一)对称；22(3)且仅有一个公共点，证明若曲线C与曲线Ci有s=t——1且tz04【解析】(1)曲线Ci的方程为y=(x—t)3—(x—t)+s;(2)证明：在曲线C上任意取一点Mi(Xi,yi)令点M2(X2,y2)ts是点Mi关于点A(,・)的对称点，贝U22X1X2tyNy2S十口--=,—=，于是xi=t—X2,yi=s—y2,于是代入曲线2222C的方程，得X2和y2满足的方程：s-y2=(t-X2)3一(t—X2),即y2=(t—X2)3-3—x2)+S,从而可知点M2(X2,y2)也在曲线。
上反过来，同样可以证明，在曲线C-上的点关于点A的对称点也在曲线C上因此，曲线C与曲线Ci关于点A的对称3)证明：因为曲线C与曲线Ci有且仅有一个公共点，所以联立y=X3—X与y=(X-t)3-(X-t)+s所得的方程组有且仅有一一组解，于是消去y,整理得3tX2一3t2X+(t3-t-s)=0,从而知关于X的方程有且仅有一个根，所以由t至0与公=”一12t(t3-t-s)=0,从而t(t3-4t-4s)=0且(五)函数图像的应用利用函数的图像来研究方程、不等式的解集是高考中常见的问题之一，有时只需作出函数的图像的示意图，即能反映出函数的一些基本问题，从而利用函数的图像体现出来的特征来解决问题［例6］已知X-方程x+lgx=3的一个根，X2方程x+10x=3的一个根，那么Xl+X2=()(A)6(B)3(C)2(D)1【分析】这是一道研究方程根的试题，若采用纯代数的方法，从解方程或解方程组的方法入手，将很困难，于是我们想到利用构造函数，利用函数的图像，借助数形结合的思想方法来解决将已知的两个方程变形得lgx=3-x,10x=3—x，令f(x)=lgx,g(x)=10x,h(x)=3—x,于是在同一直角坐标系中画出三个函数的图像(如图)，记g(X)与h(x)的交点为A(Xi,yi),f(X)与h(x)的交点为B(X2,y2),利用函数的性质可知A、B两点关于直线y=x对称，于是有Xi=y2,X2=yi的结论，把点A的坐标代入直线的解析式，得yi=3—Xi,把X2=y1代入上式，得X2=3-X1,即口Xi+X2=3。
故答案为B当方程是超越方程时，直接求解不可能，于是利用函数图像来讨论其根的范围是常用的方法函数的图像是函数关系的一种表示方法，它能够也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来，它是研究函数性质的重要工具函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性等都集中在函数的图像上，解题时要能够借助图像实现解题的“由数想形”和“由形思数”，利用图像，充分挖掘上述性质并结合运动变化的观点来综合解题例7】(2000年全国高考题)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(甲。