染色问题小升初数学思维拓展几何图形专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）×60面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算典例一】已知一个大正方体木块能分割成若干个棱长是的小正方体木块，在这个大正方体木块的6个面上涂红色，在分割成的若干个棱长是的小正方体大木块中，两面涂红色的共有108块，那么只有一面涂红色的有几块？【分析】根据两面涂色的小正方体的个数正方体的棱长数（棱长，可得大正方体的棱长；接下来再根据一面涂色的小正方体的个数正方体的面数（棱长即可得到答案。
解答】解：大正方体的棱长为：（块答：只有一面涂红色的有486块点评】本题主要考查了染色问题，解题的关键是根据两面涂色的小正方体的个数正方体的棱长数（棱长，求出大正方体的棱长典例二】图中的立体由26个小正立方体组成，外露的部分（包括底部）漆上油漆后再拆散，问有多少个小正立方体有三面漆了油漆？【分析】小正立方体有三面漆了油漆的在大立方体的顶点处，由于大正方体在涂油漆前少了一个角，从而空出一个小正方体，却导致增加了两个小正方体倍涂色三个面；据此得解．【解答】解：三面漆了油漆的在大立方体的顶点处，由于大正方体在涂油漆前少了一个角，从而空出一个小正方体，却导致增加了两个小正方体倍涂色三个面；（个答：有10个小正立方体有三面漆了油漆．【点评】本题考查了学生观察的能力以及找规律的能力，关键是换角度思考，先数出涂色的面数．【典例三】给图中的各点（小圆圈）涂上颜色，相连接的两个点的颜色要不相同，最少要用几种颜色？【分析】图中有5个正方形，每个正方形只要保证每条对角线上的两的点同色，另一条与它不同色即可，这样只需要两种颜色，据此解答．【解答】解：根据分析画图如下：答：最少要用两种颜色．【点评】本题实际是著名的四色问题，四色问题是1852年英国数学家费南希斯格里斯提出的，结论是：“不论多么复杂的地图，只要用不多于四种颜色就可以解决着色问题．”一．选择题（共8小题）1．一个棱长是3厘米的正方体，表面全部涂上红油漆，然后切成棱长是1厘米的小正方体，有3面是红色的小正方体有 个。
A．1 B．6 C．8 D．122．用小正方体拼成长方体（如图所示），将长方体表面涂上颜色一面涂色的小正方体有 块A．6 B．8 C．10 D．123．如图是由27个相同的小正方体拼成的大正方体，在它的6个面上都涂上红色，其中只有2个面涂上红色的小正方体有 个A．6 B．8 C．124．把长、宽、高分别为8厘米、7厘米、5厘米的长方体表面涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体，三面涂有红色的小正方体比两面涂有红色的小正方体少 A． B． C． D．5．将一个正方体木块6个面都涂上红色，把它切成大小相等的64块小正方体．一个面涂上红色的小正方体有 块A．4 B．12 C．24 D．486．把一个棱长5厘米的正方体的表面涂上红色，再切成棱长1厘米的小正方体，这些小正方体中两面涂色的有 个A．8 B．36 C．547．给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意抛一次，使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相等，需要有 个面涂红色A．2 B．3 C．48．将一个表面涂色的正方体，切成27块大小相同的小正方体，一面涂色的有 块A．6 B．8 C．16 D．24二．填空题（共8小题）9．把一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体表面涂色后，再沿着棱平均分成若干个棱长为1厘米的正方体，这些涂色正方体中两面涂色的有 个，一面涂色的有 个。
10．用棱长的小正方体拼成棱长是的大正方体，然后把大正方体的表面涂上颜色那么小正方体中，三面涂色的有 个，两面涂色的有 个11．把一个棱长是4厘米的正方体表面上涂上红漆，然后锯成棱长1厘米的正方体小木块，这些正方体小木块中有3个面涂色的有 块，2个面涂色的有 块12．把一个长，宽，高的长方体木块表面添色，切成棱长是1厘米的小正方体，一共可以切 个，3面涂色的小正方体有 个．13．一个长方体木块长厘米，宽厘米，高厘米、、是大于2的自然数且．如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来最少增加 平方厘米；如果将这个长方体表面涂成红色，切成棱长是1厘米的小正方体，三面是红色的小正方体有 块．14．一个正方体木块，先在它的六个面涂满红漆，再把它用锯子分成27个小正方体，这些小正方体中，只有一面涂上红漆的有 个15．把一个棱长5厘米的正方体表面涂上颜色，将它切割成棱长是1厘米的125块小正方体，其中只有两面涂色的小正方体有 块，只有一面涂色的小正方体有 块．16．表面涂色的正方体，将它的棱平均分成5份，然后沿等分线把正方体切开，三面涂色的小正方体有 个，两面涂色的小正方体有 个。
三．解答题17．已知每个小立方体棱长为，且各有一些面被涂上了颜色．小芳拿到了一袋装有这些小立体的学具袋，拆开整理后，他得到了以下材料，她想用这袋小立方体摆出一个表面都涂色，但内部不涂色的大正方体，那么她最大可以摆出棱长为多少厘米的大正方体？请写出思考过程．一面涂色55个；两面涂色50个；三面涂色10个；零面涂色65个18．一个棱长为6厘米的正方体表面被全部涂上红漆，如果把它切成棱长为1厘米的小正方体，那么两个面涂有红漆的小正方体有几个？一面也没有涂红漆的小正方体有几个？19．把一个棱长是5厘米的正方体表面涂上绿色，然后将它锯成棱长为1厘米的小正方体，在这些小正方体中，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少个？20．用27个棱长的小正方体拼成一个大正方体，把它的表面全部涂成红色，请想一想：（1）三面涂色的小正方体多少个？（2）两面涂色的小正方体有多少个？（3）一面涂色的小正方体有多少个？（4）没有涂到颜色的小正方体有多少个？21．一个长方体木块，长、宽、高，在它的六个面上都漆满红油漆，然后锯成棱长都是的小正方体木块，锯成的小正方体木块中，多少块三面有红色？两个面、一个面有红色的各有多少块？六个面都没有红色的有多少块？22．如图所示，大立方体从一顶点切去4个小正立方体．将它的表面涂上红色（底部没有涂）后按图形上的线锯开，问都没有红色的小正立方体有多少块？23．把1000个1立方厘米的正方体合在一起，堆成一个棱长是1分米的正方体，把这个大正方体的表面涂上黄漆，小正方体中，有一面涂了黄漆的有多少个？24．有黑棋子和白棋子，每个黑棋子旁边恰好有一枚白棋子，每个白棋子旁边恰好有个黑棋子问能否在①和②的棋盘上摆出来．25．如图的这个图形是一个立体图形，叫四面体．它有四个面 都是三角形，有六条棱（边．如果把每条棱都染成白色、蓝色或红色，并且使每一个三角形都至少有一个红色的边，那么最少有几条棱要被染成红色？答：最少 条棱要被染成红色．26．将一个棱长为整数的（单位：分米）长方体的6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体．在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一面涂红色的有多少块？原来长方体的体积是多少立方分米？27．把下面的正方体的六个面都涂成红色，然后把每条棱都平均分成3份，切开．三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体各有多少个？如果把每条棱都平均分成4份、6份份呢？想一想，填写下表．大正方体的棱平均分的份数3463面涂色的小正方体个数2面涂色的小正方体个数1面涂色的小正方体个数参考答案一．选择题（共8小题）1．【答案】【分析】在一个正方体的表面涂色，切成棱长为1厘米的小正方体，三面都涂有红色的小正方体在大正方体的8个顶点上．【解答】解：因为三面涂色的在8个顶点处，所以一共有8个；故选：．【点评】此题主要考查了学生观察图形和利用图形解决问题的能力，这里要抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上进行观察解答．2．【答案】【分析】一面涂色的在每个面的中间，据此求出6个面上的块数解答即可。
解答】解：（块答：一面涂色的小正方体有10块点评】本题的关键是明确三面涂色的小正方体在哪里，两面涂色的小正方体在哪里，一面涂色的小正方体在哪里，没有涂色的小正方体在哪里3．【答案】【分析】正方体表面涂色的特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此解答即可解答】解：（个答：其中只有2个面涂上红色的小正方体有12个点评】此题考查了立方体的涂色问题；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用4．【答案】【分析】三面涂红色的小正方体在长方体8个顶点处，一共8个；两面涂色的小正方体在长方体12条棱上，每条长8厘米的棱上有个，每条长7厘米的棱上有个，每条长5厘米的棱上有个，据此计算出两面涂色的小正方体个数，据此求出三面涂色的小正方体个数是两面涂色小正方体的几分之几，据此进一步解答即可解答】解：答：三面涂有红色的小正方体比两面涂有红色的小正方体少点评】把一个长方体切成若干个小正方体，三面涂色的小正方体个数等于长方体顶点的个数，两面涂色的小正方体在长方体12条棱上，每条棱上两面涂色的小正方体的个数这条棱上正方体总个数顶点处2个三面涂色的小正方体。
5．【答案】【分析】因为，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案．【解答】解：，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；（个答：一个面涂上红色的小正方体有24块．故选：点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．6．【答案】【分析】先求出每条棱上切成棱长为1厘米的小正方体的个数：（个，根据题意可发现顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可解答】解：根据以上分析可知：（个（个答：两面涂色的小正方体有36个点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由。