2007年广东卷数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1．已知函数的定义域，的定义域为，则=（ ） A． B． C． D．2．若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则（ ）A．2 B． C． D．3．若函数，则是（ ）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数4．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中，正确的是（ ）s(km)s(km)s(km)s(km)160160160160140120140120140120140120100100100100808080806060606000000321321321321D．C．B．A．t(h)t(h)t(h)t(h)5．已知数列的前项和，第项满足，则（ ）A．9 B．8 C．7 D．66．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为（如表示身高（单位：cm）在内的学生人数）．图1图2开始输入结束否是50100150200250300350400450500550600145150155160165170175180185190195人数/人身高/cm图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 图37．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将四个维修点的这批配件分别调整为，，，件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为）为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．8．设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ ）A． B．C． D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 ．（答案用分数表示）10．若向量满足，与的夹角为，则 ．图411．在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．12．如果一个凸多面体是棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有对异面直线，则 ； ．（答案用数字或的解析式表示）图513．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为（参数），则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）设函数，则 ；若，则的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆的直径，为圆周上一点，．过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则 ，线段的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（12分）已知顶点的直角坐标分别为，，．（1）若，求的值；（2）若是钝角，求的取值范围．17．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据．34562.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：）18．（14分）在平面直角坐标系，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（14分）如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值．20．（14分）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求取值范围．21．（14分）已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，．（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数，都有；（3）记，求数列的前项和．2007年（广东卷）数学（理科B）参考答案一．选择题 CDDC BBCA1． 故选（C）2．为纯虚数，故选（D）3． 故选（D）4．，故选（C）5．，k=8，（或5＜2k－10＜8）故选（B）6．计算，由算法框图知， 故选（B）7．11件，4件，1件，共16件，故选（C）8．当时，又； ，故选（A）二．填空题9．10．11．线段的垂直平分线方程为准线方程12．；12；13．参数方程化普通方程得直线方程为，圆的方程为 因此圆心为，圆心到直线的距离为14．；三．解答题16．（1）当时，（2）,为钝角17．（1）（略）（2），，，，故现线性回归方程为（3）当时，，，故预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低吨标准煤。
18．（1）显然圆心的坐标为，故圆的方程为（2）由题意知，椭圆的长轴长为，椭圆的右焦点，若圆上存在点,使得，则点圆与圆的交点，由或，所以，此时满足题意，故圆上存在点符合题目要求19．（1）又， 平面且，，四棱锥的底面积为 ，（2），时，时，在上增，在上减，故在时，取最大值为（3）过作交于，则是直线与所成角且是等腰三角形，由（2）知在，所以异面直线与所成角的余弦值为20．（1）当时，（2）当时，①在上有惟一解，则②在上有两解，则或，综上，所求的取值范围为21．（1），（2），，，，易证①当时，②假设时命题成立，即，则当时所以时命题也成立由①②可知（3）由（2）知， 是公比为2，首项为的等比数列，其前项的和为。