1第五章 时域离散系统的基本网络结构2本章思路n时域离散系统或者网络一般可以用三种描述方法：n差分方程n单位脉冲响应h(n)n系统函数H(z)n但是要用计算机对输入的时域离散序列进行处理，必须要体现为一种算法同一个离散时间系统可能有很多不同的算法来实现，这些算法就表现为系统的不同结构网络结构的不同对运算速度、误差、成本等都有很大影响n1.网络结构的表示方法信号流图n2.无限脉冲响应（IIR）基本网络结构n3.有限脉冲响应（FIR）基本网络结构n4.线性相位结构n5.频率采样型结构3n如果系统输入和输出服从N阶差分方程： n nn则系统函数H(z)用下式表示：n基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延） 4信号流图由基本支路构成，基本支路的表示方法：1.基本支路箭头表示信号流向，两个圆点表示输入输出节点，箭头旁边的符号表示增益（缺省为1）2.输出节点变量等于输入节点变量乘以增益，增益等于z-1 表示移位3.输出节点对应多个输入支路时，输出节点变量等于所有输入节点变量之和加法：数乘：移位：两种图形表示方法介绍(方框图，信号流图)：5w1(n) = x(n)+aw3(n)w2(n) = w1(n)w3(n) = w2(n-1)w4(n) = b0w2(n)+b1w3(n) y(n) = w4(n)1.输入x(n) 称为输入节点变量，y(n)表示输出节点变 量，w1(n), w2(n), w3(n)和w4(n)也是节点变量。
这些节点变量和其他节点变量之间的关系可以表示为：2.流图中可能出现由某个节点出发，经过一定的路径后又回到该出发节点的路径，这样的首尾相连的通路称为环路 环路增益等于：环路上所有增益的乘积3.从输入节点x(n)到输出节点y(n)的路径，称为前向通路（前向通路可能有多条，前向通路中不能包含环路） 某条前向通路增益等于：该通路上所有增益的乘积认识信号流图6n从基本运算考虑，如果满足以下条件，则称为基本信号流图:n(1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1;n(2) 流图环路中必须存在延时支路;n(3) 节点个数和支路个数都是有限的n按照上面的条件可知，图 (a)所示的流图是基本流图，图中有一个环路，环路增益是az-1，环路中有延时支路n而图 (b)不是基本信号流图，因为它不是由基本支路组成的，也不能决定一种具体的算法7实际系统的描述信号流图系统的数学描述系统函数H(z) 二者的相互转换8FIR数字网络的特点：1.系统的单位脉冲响应h(n)有限长（只存在有限多个n，使h(n)不为零）2.不存在输出到输入的反馈，即信号流图中不含有环路，系统函数H(z)的分母多项式等于1，系统只有一个极点 Z=0，为 M阶极点。
3.无论差分方程的系数取任何有效的值，系统都是因果稳定的4.单位脉冲响应的值等于差分方程系数： h(n)=bn n=0,1,M 5.基本网络结构有三种：直接型，级联型，线性相位型，频率采样型9IIR数字网络的特点：1.单位脉冲响应h(n)为无限长（存在无限多个n，使h(n)不为零）2.存在输出到输入的反馈，即信号流图中含有环路3.有N个极点和M个零点为了保持系统稳定，所有极点应在单位 圆内4.基本网络结构有三种：直接型，级联型，并联型. 105.3 无限长脉冲响应（IIR）的基本网络结构n 1 直接型网络结构n将N阶差分方程重写如下：n为简单起见, 假设M=N=2，差分方程为 11n将H1(z)和H2(z)交换次序，n得到H(z)=H2(z)H1(z) n另外, 节点变量w1等于节点变量w2，即w1=w2，同时, 前后两部分经过延时, 对应的节点变量也相等，可以将前后两部分的延时支路合并成一个延时支路这样形式的流图为IIR直接型网络结构12n例 5.3.1 已知系统用下面差分方程描述： ny(n)=0.9y(n-1)+0.8y(n-2)+x(n)-1.4x(n-1)n试画出它的直接型网络结构。
先画反馈部分，即0.9y(n-1)+0.8y(n-2); 再画前向通路部分，这里的延时支路要和反馈环路的延时支路共用，这样就得到最后的流图13n例5.3.1 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为nn试画出该滤波器的直接型网络结构n解： 根据系统函数表达式可见，流图含有四个前向通路和三个反馈环路（相互有接触），前向通路和反馈环路公用延时支路由系统函数画信号流图，注意环路增益142 级联型网络结构将系统函数分子分母分别因式分解，分解成简单的一阶或者二阶的形式，这些简单分式用直接型结构实现，然后级联形成级联型结构的系统15n还可以如下式这样进行分解：nn 因式分解时，可能出现系数为虚数的情况，但是实际中的乘法器都是实数乘法器，为此希望因式分解后的系数都是实数如果多项式系数是实数，多项式的根不是实数，就是共轭成对的，可将共轭成对的根放在一起构成二阶网络16n例 5.3.2 设系统函数如下式： n试画出它的级联型网络结构n解 上式中分子分母多项式的根分别有一个实根和一对共轭成对的虚根，将共轭成对的虚根放在一起，形成一个具有实系数的二阶多项式，如下式： 17n为了节省延时支路，将分子分母中的一阶多项式放在一起形成一个IIR一阶网络，分子分母中的二阶多项式放在一起形成一个IIR二阶网络n上式中的第一部分是IIR一阶网络，它的系数决定一个零点和一个极点； 第二部分是IIR二阶网络，它决定一对零点和一对极点。
这两部分相互级联起来，构成IIR级联型网络结构 18n当然, 也可以将系统函数写成下面形式：nn按照上式画出它的级联型结构如图显然这种级联方式不如前面结构简单，它多用了一个延时支路 19级联型结构的特点： 级联型结构的特点是每个二阶节是相互独立的，可分别通过调整各个 “ 零极点对 ” 来对滤波器性能进行较好的控制，且各二阶节的顺序可重排实现需要(M+N)个加法器、(M+N)个乘法器和N个延时单元该结构应用最广泛 n因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前面， 因此运算的累积误差比直接型小203 并联型网络结构将系统函数展成部分分式，每个部分分式一般是一阶或二阶的形式，每个部分分式用直接型结构实现，将这些直接型结构并联，形成并联型结构的系统例 5.3.0 设系统函数如下式：试画出它的并联型结构图解 首先将系统函数写成下式:21将分母进行因式分解，得到:22n例 5.3.6 假设系统函数如下式：画出它的并联型结构图解 将系统函数展成部分分式，得到n将上式中的每一部分画成直接型结构，再进行并联，最后得到IIR并联型结构如图所示235.4 有限长脉冲响应（FIR）的基本网络结构n1 FIR直接型网络结构n 假设单位脉冲响应h(n)的长度是N，它的系统函数和差分方程用下式表示： n按照系统函数或者差分方程直接画出它的结构图如图所示。
24n2 FIR级联型网络结构将系统函数因式分解，如果有虚根可以将共轭成对的根放在一起，形成具有实系数的二阶网络例 5.4.1 设FIR网络系统函数如下式： H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出它的直接型结构和级联型结构图将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)按照上式画出它的级联型结构如图7.4.2(b)所示25级联型的特点n系数比直接型多，所需的乘法运算多n每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点265.5 线性相位结构 线性相位结构是FIR系统的直接型结构的简化网络结构27图5.5.1 第一类线性相位网络结构流图28图5.5.2 第二类线性相位网络结构流图29Hc(z)就是第二章中例中的H(z)在该例题中曾分析出在它的幅度特性中有N个等幅度的峰，并称它为梳状滤波器式中Hk(z)是IIR一阶网络，N个Hk(z)进行相加，表示N个一阶网络相并联30极点位置零点位置31优点： n(1)只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数)，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便n(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。
这样，相同部分便于标准化、模块化 32 然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：n(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的 n(2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正n首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1（取0.99；0.98）此时H(z)为33n另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)而且W-kN=W(N-k)N，我们将Hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则式中 34n显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图5.4.4(a)所示当N为偶数时，h(z)可表示为n式中，H(0)和H(N/2)为实数5.4.4)式对应的频率采样修正结构由N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联构成，如图5.4.4(b)所示35n 当N=奇数时，只有一个采样值H(0)为实数，H(z)可表示为频率采样结构的使用范围：H(K)大量为零的场合为什么IIR滤波器不能用频率采样结构？频率采样结构是基于频率采样理论的，频率采样理论要求频域采样点数大于或等于时域信号点数，而IIR滤波器的时域信号为无限长，所以频域采样必然造成时域混叠，所以频率采样结构只能实用于FIR滤波器。