1.5 事件的独立性事件的独立性一、事件的独立性一、事件的独立性二、重复独立试验二、重复独立试验1事件的独立性 例如例如, 袋中有十张卡片袋中有十张卡片,分别标有数字分别标有数字0,1,…9,每次从中任意抽取一张每次从中任意抽取一张,取后放回取后放回,共共取两次取两次A:事件事件“第一次取到标有奇数的卡片第一次取到标有奇数的卡片”B:事件事件“第二次取到的卡片上所标数字第二次取到的卡片上所标数字 小于小于3”一、事件的独立性一、事件的独立性 ={(i, j)|i, j=0,1,…,9}n=100A={(i, j)|i=1,3,5,7,9, j=0,1,…,9}mA=502事件的独立性 有有:B={(i, j)|i=0,1,…,9, j=0,1,2}mB=30AB={(i, j)|i=1,3,5,7,9, j=0,1,2}mAB=15得得:这时称这时称A, B是是相互独立相互独立的的 P(B|A)=P(B)P(AB)=P(A)P(B)3事件的独立性 直接理解直接理解: 由于是有放回抽取由于是有放回抽取,第一次取卡对第第一次取卡对第二次取卡没有影响二次取卡没有影响,故可直接判断独立故可直接判断独立 A,B相互独立相互独立,若若P(A)>0, P(B)>0, 则则 P(B|A)=P(B), P(A|B)= P(A)其含义其含义: B(或或A)的概率不受附加条件的概率不受附加条件“A(或或B)已发生已发生”的影响的影响 注注: 任一事件与不可能事件与必然事件任一事件与不可能事件与必然事件 也是相互独立的也是相互独立的 4事件的独立性 定理定理: 若若A与与B相互独立，相互独立， 则则A与与 与与B,与与也相互独立也相互独立 ∵∵(1) 且且又又 P(AB)=P(A)P(B)则有则有:故故, A与与 相互独立相互独立5事件的独立性 (2)由对称性由对称性,与与B也相互独立也相互独立 (3)与与B相互独立相互独立,由由(1)可知可知,与与也相互独立也相互独立 可见可见,若若P(A)>0, P(B|A)= P(B),由定理由定理,有有: 即即,不论不论A发生与否发生与否, B发生的概率发生的概率都一样都一样6事件的独立性 A1,A2,…,An,…中的任意两个事件相中的任意两个事件相互独立互独立,称称A1,A2,…,An,…两两相互独立两两相互独立 A1,A2,…,An中的任意中的任意m个事件个事件 则称则称A1,A2,…,An总体相互独立总体相互独立,简称简称 A1,A2,…,An相互独立相互独立都满足关系式都满足关系式:7事件的独立性 (2)若若A1,A2,…,An相互独立相互独立,则其中的则其中的m个个 事件也相互独立事件也相互独立 (1)上式包含上式包含注注:个等式个等式 可见可见,总体相互独立比两两相互独总体相互独立比两两相互独立有更高的要求立有更高的要求, 即当即当A1,A2,…,An相互相互独立时独立时,它们必两两相互独立它们必两两相互独立,而其逆不而其逆不一定成立一定成立 8事件的独立性 例如例如, ={1,2,3,4}, A={1,2}, B={1,3}, C={1,4}这一古典概型这一古典概型:有有:得得: P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)9事件的独立性 (1≤m≤n, i1,i2,…,in为为1,2,…,n的一的一个全排列个全排列)定理定理: A1,A2,…,An相互独立相互独立,则则也相互独立也相互独立可知可知, A,B,C两两相互独立两两相互独立 但不是相互独立的但不是相互独立的10事件的独立性 注意注意: 在实际应用中在实际应用中,对于事件的独立性对于事件的独立性,我们往往不是根据定义来判断我们往往不是根据定义来判断,而是根据而是根据实际意义来加以判断的实际意义来加以判断的 具体的说具体的说, 题目一般把独立性作为条题目一般把独立性作为条件告诉我们件告诉我们,要求直接应用定义中的公式要求直接应用定义中的公式进行计算进行计算11事件的独立性 例例1 有三批种子有三批种子,发芽率分别为发芽率分别为0.9, 0.8, 0.85, 在这三批种子中各任取一粒在这三批种子中各任取一粒, 求取求取得的三粒种子中至少有一粒能发芽的概得的三粒种子中至少有一粒能发芽的概率率 解解: A:“取得的三粒种子中至少有一粒能取得的三粒种子中至少有一粒能 发芽发芽”Ai :“由第由第i批种子中取得的一粒种子能批种子中取得的一粒种子能 发芽发芽” (i=1,2,3)A1,A2,A3相互独立相互独立,且且A=A1∪∪A2∪∪A312事件的独立性 =1 (1 0.9)(1 0.8)(1 0.85)=0.997有有:P(A)=P(A1∪∪A2∪∪A3)13事件的独立性 注注: 两个事件独立和两个事件不相容是两个事件独立和两个事件不相容是 完全不同的两个概念完全不同的两个概念: 前者说前者说,一个事件是否发生对另一一个事件是否发生对另一个事件发生的概率大小没有影响个事件发生的概率大小没有影响;而后而后者说者说,两个事件是不可能同时出现的两个事件是不可能同时出现的14事件的独立性 二、重复独立试验二、重复独立试验 在实际问题中在实际问题中,常常需将一个随机常常需将一个随机试验重复进行若干次试验重复进行若干次(比如比如n次次), 若各次若各次试验的结果互不影响试验的结果互不影响,即每次试验结果即每次试验结果出现的概率不受其它各次试验结果的出现的概率不受其它各次试验结果的影响影响,则称这则称这n次试验为次试验为n次重复独立试次重复独立试验验 例如例如, n次掷硬币试验次掷硬币试验, n次有放回摸球试验次有放回摸球试验,等等等等 15事件的独立性 在在n重贝努里试验中重贝努里试验中,事件事件A恰恰好发生好发生k次的概率为次的概率为:若一个试验只有两种结果若一个试验只有两种结果: A、、其中其中 则称这个试验为贝努里试验则称这个试验为贝努里试验,它的它的n次重次重复独立试验称为复独立试验称为n重贝努里试验重贝努里试验定理定理:同时同时,有有 16事件的独立性 例例2 设有八门火炮独立地同时向一目设有八门火炮独立地同时向一目标各射击一发炮弹标各射击一发炮弹,若有不少于若有不少于2发炮弹发炮弹命中目标时命中目标时,目标算作被击毁目标算作被击毁,如果每门如果每门炮弹命中目标概率为炮弹命中目标概率为0.6,求击毁目标的求击毁目标的概率概率p是多少是多少?解解: A:“每门火炮命中目标每门火炮命中目标” 则则 P(A)=0.6，， n=8的贝努里概型的贝努里概型 故故,17事件的独立性 例例3 甲乙两人各掷均匀硬币甲乙两人各掷均匀硬币n次，求两人掷次，求两人掷出正面的次数相等的概率。
出正面的次数相等的概率解：解：A：：“两人掷出的正面数等两人掷出的正面数等”；； ：： “甲掷出了甲掷出了k次正面次正面”；； ：：“乙掷出了乙掷出了k次正面次正面”；；18事件的独立性 又因为甲掷硬币又因为甲掷硬币n次，是次，是n重贝努里试验，重贝努里试验，则有则有19事件的独立性 小结小结1.阐述了随机试验的特征以及随机事件阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关系及运算之间的关系及运算2.给出了随机事件的频率及概率的含义给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性质和基本性质,会计算古典、几何概率会计算古典、几何概率3 给出了条件概率的定义及乘法公式、给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式4.给出了随机事件独立性的概念给出了随机事件独立性的概念,会利用会利用事件独立性进行概率计算事件独立性进行概率计算5.引进贝努里概型及引进贝努里概型及n重贝努里试验的概重贝努里试验的概念念,要会计算与之相关事件的概率要会计算与之相关事件的概率20事件的独立性 。