误差分析的基本概念钱政北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院§随机误差§系统误差§粗大误差§误差的合成§误差的分配§最佳测量方案的确定§本章小结误差分析的基本概念误差分析的基本概念 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院随机误差随机误差§随机误差的基本概念§算术平均值§测量的标准差§测量的极限误差§总结 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院随机误差的基本概念随机误差的基本概念§概念§产生原因 测量装置的原因 测量环境的原因 测量人员的原因§随机误差的特点 单次误差随机性 多次误差? 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院随机误差的特点随机误差的特点§通常服从正态分布规律；§基本特点： 单峰性 对称性 有界性 抵偿性§如何消除？0 0 正态分布正态分布正态分布正态分布 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院算术平均值算术平均值§意义： 测量真值的最佳估计（什么情况下是真值？）§如何获取？ 等精度测量情况下： 不等精度测量情况下？§随机误差、系统误差和误差的关系？§关键问题？ 算术平均值 数学期望值随机误差系统误差？？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院测量的标准差测量的标准差§意义§两个概念 标准差 标准差的估计值§单次测量的标准差§算术平均值的标准差§测量次数的最佳选择=≠说明了什么？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院计算实例计算实例 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院测量的极限误差测量的极限误差§意义§定义 测量结果误差不超过极端误差的概率为P，并使差值1-P可以忽略。
§单次测量的极限误差§算术平均值的极限误差？实际情况下如何确定极限误差呢？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院计算实例计算实例求算术平均值的极限误差？算术平均值为：测量结果的标准差：算术平均值的标准差：假定P=0.99，查表得：算术平均值的极限误差为： 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院总结总结§随机误差的基本特点§随机误差分析的步骤： 算术平均值 标准差 极限误差§误差、随机误差、系统误差的关系§其他随机误差分布的规律§其他标准差的计算方法 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院系统误差系统误差§系统误差的基本概念§系统误差的来源§系统误差的分类§系统误差的发现§系统误差的减小和消除§总结 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院系统误差的基本概念系统误差的基本概念§基本特点： 误差变化有规律，可预测§意义 反应测量结果偏离真值的程度§系统误差的消除？ 能否通过多次测量取平均的方法消除？ 如何消除？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院系统误差的来源系统误差的来源§工具误差 天平两臂不等长§调整误差 游标卡尺未调零§习惯误差 读数习惯性偏向§条件误差 测量条件的变化§方法误差 无理数的引入等§测量方法§测量装置§测量环境§测量人员 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院系统误差的分类系统误差的分类§恒定系统误差§可变系统误差 线性系统误差 周期变化系统误差 复杂规律变化系统误差仪表指针回转中心与刻度盘中心有偏离值 ，则指针在任一转角处的读数误差为周期变化误差微安表指针偏转角与偏转力矩不严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差 刻度值为1mm的标准刻度尺存在刻画误差 mm，若用它测量某一物体，得到的值为k，则被测长度的实际值为， 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院系统误差的发现系统误差的发现§实验对比法§理论分析法§数据分析法§结论： 1）实验对比法主要用于发现恒定系统误差； 2）理论分析法主要用于定性分析； 3）数据分析法主要用于定量发现。
发现恒定还是可变系统误差？定性分析还是定量发现？残余误差观察法、残余误差校验法、不同公式计算标准差比较法、计算数据比较法、t检验法、秩和检验法 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院系统误差的减小和消除系统误差的减小和消除§消误差源法§加修正值法 关键：修正值的确定§改进测量方法 替代法 交换法 半周期法等 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院总结总结§系统误差的基本特点§系统误差的分类§系统误差分析的步骤 发现 分析 解决§可变系统误差和随机误差的区别 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院粗大误差粗大误差§粗大误差的基本概念§粗大误差的判断准则§粗大误差的消除§总结 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院粗大误差的基本概念粗大误差的基本概念§概念§产生原因 测量方法选取不当 测量条件突然变化 测量操作疏忽和失误§粗大误差的处理原则 必须首先处理，剔除出去后再进行后续分析 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院粗大误差的判断准则粗大误差的判断准则§基本思想 给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差。
§问题§两个判断准则： 1） 3准则； 2）罗曼诺夫斯基准则 3）计算实例1.是否已知误差分布规律？2.若不知，测量点数是否足够多？3.测量点数较少时如何处理？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院3 准则准则 §计算过程： 1）假设数据只含随机误差，计算标准偏差； 2）确定置信区间； 3）进行粗大误差剔除； 4）重复上述步骤，直至粗大误差全部剔除§关键问题 1）应用前提条件； 2）真值的计算； 3）标准偏差的计算 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院罗曼诺夫斯基准则罗曼诺夫斯基准则§原则：按误差分布符合t分布进行计算§计算过程： 1）将可疑数据剔除后计算平均值； 2）按照贝塞尔公式计算标准偏差； 3）选取检验系数； 4）剔除粗大误差： 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院计算实例计算实例第1种方法结论：第8个点为粗大误差，剔除后再进行计算均在误差要求范围之内第2种方法：首先判断第8个点为粗大误差，剔除后再进行处理结论：测量值与平均值间的误差0.111要大于0.036，所以其确为粗大误差，应予剔除。
再往下继续计算的结果表明剩余14个测量结果不含有粗大误差 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院粗大误差的消除粗大误差的消除§合理选用判别准则 测量点数的多少？（n>30） 误差分布规律？ 其他准则（狄克松准则的特点） 不同准则判断出现矛盾的时候怎么办？§判别多个粗大误差点？（多少个为判断上限？） 采用逐步剔除方法 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院总结总结§粗大误差的物理意义§粗大误差的基本概念§粗大误差产生的原因§如何识别和消除粗大误差 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院问题的提出问题的提出误差合成误差分配？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院误差的合成误差的合成§函数误差§随机误差的合成§系统误差的合成§误差合成原理及其应用§总结 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院函数误差函数误差§问题的提出§函数误差的实质§函数误差的计算？直接测量间接测量直接测量和间接测量误差反映形式的不同误差传递 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院函数系统误差计算函数系统误差计算实例 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院计算实例计算实例不考虑误差时：D? 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院函数随机误差计算函数随机误差计算 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院函数随机误差计算函数随机误差计算 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院函数随机误差计算函数随机误差计算各误差相互独立？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院计算实例计算实例最后根据置信概率的要求确定置信区间 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院随机误差的合成随机误差的合成§基本原则 方和根方法 关键环节 误差传递系数 误差相关系数§标准差合成§极限误差合成 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院标准差合成标准差合成§有q个单项随机误差，标准差为 ，对应的误差传递系数为 。
§问题1： 各个变量如何获得？§问题2： 如何进行标准差合成§问题3： 误差是否相互独立？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院极限误差合成极限误差合成?置信系数 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院系统误差的合成系统误差的合成§已定系统误差的合成结论：最后的测量结果中不应再包含已定系统误差 §未定系统误差的合成 特点 合成原则：按照随机误差的合成方法合成 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院未定系统误差特点未定系统误差特点§问题的提出？ 未定系统误差和随机误差的区别！§问题的回答 未定系统误差的特点 确定性 极限值（事先确定） 随机误差的特点 随机性 界限不定（处理后确定）§落脚点：未定系统误差服从一定的概率分布 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院误差合成原理及其应用误差合成原理及其应用§随机误差 方和根方法§系统误差 已定系统误差 代数和方法 未定系统误差 方和根方法§系统误差和随机误差的合成 原则：已定系统误差可以修正，只需考虑未定系统误差和随机误差的合成。
仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院系统误差和随机误差的合成系统误差和随机误差的合成§按标准差合成合成原则？传递系数？各误差不相关随机误差项多次测量？公式的应用条件！ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院系统误差和随机误差的合成系统误差和随机误差的合成§按极限误差合成合成原则？传递系数？各误差不相关服从正态分布随机误差项多次测量？单次测量与多次测量的区别！ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院计算实例计算实例§用天平，配三等标准砝码称一个不锈钢球质量，一次称量得到钢球质量为14.0040g，求测量结果标准差§随机误差：天平示值变动性所引起误差为随机误差，重复称量标准差为：§未定系统误差：§总标准差： 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院总结总结§为什么先讲函数误差？§函数误差的特点？§函数误差合成的基本原则？§随机误差的合成？§系统误差的合成？§未定系统误差和随机误差的关系？§系统误差和随机误差的合成？§合成公式中要注意的问题！ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院误差的分配误差的分配§概论§微小误差取舍原则 §按等影响原则分配误差 §按可能性调整误差 §验算调整后的总误差 §总结 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院概论概论§误差分配的概念 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差 §误差分配和误差合成的关系 互为逆问题§误差分配的作用与意义 确定测量方案，选定测量设备等§误差分配是否含系统误差？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院微小误差取舍原则微小误差取舍原则结论：被舍去误差小于或等于测量结果总标准差的1/10~1/3 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院按等影响原则分配误差按等影响原则分配误差§各误差项影响相等§按极限误差表示：§问题？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院按可能性调整误差按可能性调整误差§为什么调整？ 1）对一部分测量误差的需求实现颇感容易，而对另一些测量误差的要求则难以达到； 2）当各个分项误差一定时，相应测量值的误差与其传播系数成反比。
因此，当各个分项误差相等时，相应测量值的误差并不相等，有的可能相差很大 §调整原则？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院验算调整后的总误差验算调整后的总误差§目的？ 验证分配的合理性！§可能出现的情况？ 总误差小得多§一点说明 某误差项不可能改变时，如何处理？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院计算实例计算实例等影响分配原则分配误差 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定§一点说明 只需考虑随机误差和未定系统误差的影响，而不需要考虑已定系统误差§以研究函数误差最小的最佳测量方案为例§两种方法： 误差项越少越好 误差传递系数越小越好 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院选择最佳函数误差公式选择最佳函数误差公式 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院为什么方法三的效果最好？为什么方法二差于方法一？ 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院使误差传播系数尽量小使误差传播系数尽量小 1.h越大越好2.l=2h最好？问题是有时候难以满足弓高愈接近弦长的一半，误差越小 仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院本章小结本章小结 §误差的基本概念与处理方法 粗大误差？ 系统误差？ 随机误差？§误差的合成？ 系统误差的合成？ 随机误差的合成？ 综合误差的合成？ 微小误差的取舍原则？§误差的分配 平均分配？ 调整误差？ 验证误差？§最佳测量方案的确定 。