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1、将军饮马问题 常德市十三中 李永祥一、教学内容初中阶段,主要以“两点之间,线段最短”,“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”,为理论基础,有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体进行变式设计,开展对“最短路径问题”的课题研究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题,再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短”的问题.从中,让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作,经历发现问题和提出问题,分析问题和解决、验证问题的全过程,感悟数学各部分内容之间,数学
2、与实际生活之间及其他学科的联系,激发学生学习数学的兴趣,加深对所学数学内容的理解,它既是轴对称、平移知识运用的延续,又能培养学生自行探究,学会思考,在知识与能力转化上起到桥梁作用。二、教学目标解析 教学目标能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟领会转化的数学思想,培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识,感受数学的实用性,体验自己探究出问题的成就感.目标解析达成目标的标志是:学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”,把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题,能利用轴对称将处在直线同侧的两点,变为两点处在直线的异侧,
3、能利用平移将两条线段拼接在一起,从而转化为“两点之间,线段最短”问题,能通过逻辑推理证明所求距离最短,在探索问题的过程中,体会轴对称、平移的作用,体会感悟转化的数学思想.教学重点利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.三、学生学情诊断最短路径问题从本质上说是最值问题,作为初中生,在此前很少涉及最值问题,解决这方面问题的数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会感到陌生,无从下手.解答:“当点A、B在直线l的同侧时,如何在l上找点C,使AC与CB的和最小”,需要将其转化为“直线l异侧的两点,与l上的点的线段和最小”的问题,为什么需要这样转化,怎样通过轴
4、对称实现转化,一些学生会存在理解和操作方面的困难.在证明“最短”时,需要在直线上任取一点,证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法,一些学生还想不到.在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题,需要把它们平移拼接在一起,一些学生想不到.教学时,教师可以让学生首先思考“直线l的异侧的两点,与l上的点的线段和最小”,给予学生启发,在证明“最短”时,点拨学生要另选一个量,通过与求证的那个量进行比较来证明,同时让学生体会“任意”的作用,因此确定本节课的教学难点为:教学难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.四、教学策略分析建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主
5、体积极建构的.”根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平,教学上采用“引导探究发现证明归纳总结”的教学模式,鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试,在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.教师的教法:突出解题方法的引导与启发,注重思维习惯的培养,为学生搭建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题”而改编与设计,增强数学课堂趣味性,相同背景,不同问题,由浅入深、层层递进,有利于学生分析与解决问题,同时利用现代的信息技术,直观地展示图形的变化过程,提高学生学习兴趣与激情.学生的学法:突出探究与发现,思考与归纳提升,在动手探究、自主思考、互动交流中,获取知识与能力.五、教学基本流程探索新知
6、运用新知拓展新知提炼新知课外思考六、教学过程设计(一)探索新知1、建立模型问题1 唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到军营B地,到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?追问1,这是一个实际问题,你打算首先做什么呢?师生活动:将A、B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线追问2,你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学的问题吗?师生活动:学生交流讨论,回答并相互补充,最后达成共识:(1)行走的路线:从A地出发,到河边l饮马,然后到
7、B地;(2)路线全程最短转化为两条线段和最短;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线l上的一个动点,上面的问题转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小设计意图从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入,增加学生们的数学底蕴,提高其人文思想.同时引导学生分析题意,画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.2、 解决问题问题3如图点A、B在直线的异侧,点C位直线l上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?师生活动:让学生独立思考、画图分析,并展示如果学生有困难,教师作如下提示:(1)如图,如果军营B地在河对岸,点C在
8、l的什么位置时,AC与CB的和最小?由此受到什么启发呢?(2)如图,如何将点B“移”到l的另一侧B处,且满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB的长度相等?学生在老师的启发引导下,完成作图.设计意图先通过学生对本题的思考尝试,并展示,师生共同纠错,提高认识与辩证思想,再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质,将两点在直线同侧的问题,转化为两点在直线异测的问题,提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力,让学生在思考和解决问题的过程中,提高甄别是非的能力,感悟转化的数学思想. 3、 证明“最短”问题3,为什么这种作法是正确的呢?你能用所学的知识证明AC+CB最短吗?师生活动:分组讨论
9、,教师引导点拨,结合多媒体的演示,师生共同完成证明过程.证明:如图,在直线l上任取一点C.连接AC、BC、BC.由轴对称的性质可知:BC=BC BC.=BCAC+BC=AC+BC=ABAC+BC=AC+BC当C与C不重合时ABAC+CBAC+BCAC+CB当C与C重合时AC+BC=AC+CB总之,AC+BCAC+CB即AC+BC最短设计意图利用现代信息技术,通过移动点C的位置,可发现:当C与C不重合时,AC+BCAC+CB,当C与C重合时,AC+BC=AC+CB.让学生很容易知道AC+BC最短,消除了学生的疑虑,发挥了多媒体的作用,让学生进一步体会作法的正确性,提高了逻辑思维能力.4、 小结新
10、知回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程,借助什么解决问题的?体现了什么数学思想?师生活动:学生回答,并相互补充.设计意图让学生在反思的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想,明确解题的方法与策略,为后面进一步的学习探究做准备.(二)运用新知如图,如果将军从指挥部A地出发,先到河边a某一处饮马,再到草地边b某一处牧马,然后来到军营B地,请画出最短路径. 师生活动:分组讨论,教师点拨,点学生上台操作演示,画出最短路径.设计意图对前面所学的解题方法与思路得以巩固,让学生形成技能,进一步体会感悟数学中的转化思想,点学生上台操作演示,提高他们的学生兴趣与实践能力,体会成功的喜悦,激发他们进一
11、步探究问题的欲望.(三)拓展新知已知:P、Q是ABC的边AB、AC上的点,你能在BC上确定一点R,使PQR的周长最短吗? 师生活动:1、老师首先解释三角形周长最短的含义,引导学生将实际问题抽象为数学问题,再提出如下问题:(1)要使释三角形周长最短最短,实际上是使几条线段之和最短?(2)怎样将问题转化为“两点之间,线段最短”的问题.2、分组讨论,师生共同分析.3、完成作图,体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.设计意图本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编,既增强了课堂教学的趣味性,又完成了教学任务,可谓一举两得.教学由问题引领,老师引导,学生小组合作讨论交流的方式,充分发挥现代信息技术的
12、作用完成分析与解答的过程,让学生学得轻松与愉悦,培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力,在解决问题的过程中,体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.(四)提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:1、本节课研究问题的过程是什么?2、解决上述问题运用了什么知识?3、在解决问题的过程运用了什么方法?4、运用上述方法的目的是什么?体现了什么样的数学思想?设计意图引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时,并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结,让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识,体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用,感悟转化思想的重要价值.(五)课外思考设计意图通过一系列的“将军饮马问题”的变式设计,由浅入深,环环相扣,不但培养了学生喜欢动脑,敢于提问,勇于探索的求学精神,同时培养学生的问题意识,通过最后这一问题的设计,让学有余力的学生解答,它不仅能巩固知识,形成技能,同时激发了学生的求知欲望与勇于探究的精神.同时,也是由课内向课外的一种延伸,预示着问题并没有终结,培养学生具有终身学习的意识与创新精神!