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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第4讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录)概率的加法法则例 100个产品中有60个一等品, 30个二等品, 10个废品. 规定一,二等品都为合格品, 考虑这批产品的合格率与一,二等品之间的关系解 设事件A,B分别表示产品为一,二等品. 则A与B不相容, AB=, A+B为合格品, 则例 200个产品中有6个废品, 任取3个, 求最多只有一个废品的概率P(B)解 设事件A0,A1分别表示3个废品中有0个和1个废品, 则B=A0+A1, 且A0与A1与互不相容.则有利于B的基本事件数等于有利于A0与A1的基本事件数m1与m2之
2、和, 因此例 对光顾一个超市的顾客的购买情况进行统计, 总共观察了1000名顾客, 其中花了400元以上的有50名, 花的钱在100元到400元的有500名, 试估计花钱超过100元的概率解 假设A=花钱超过100元, B=花钱在100元到400元之间, C=花钱超过400元, 利用频率来估计概率, 则B,C互不相容, A=B+C加法法则两个互不相容(互斥)事件之和的概率等于它们的概率的和. 即当AB=时,P(A+B)=P(A)+P(B)实际上, 只要P(AB)=0, 上式就成立.加法法则的一个形象解释:将一个边长为1的方形看作是整个样本空间S, 而其中的每一区域代表一事件, 这些区域的面积代
3、表此事件发生的概率, 则可以看出加法法则如下图所示:如果区域A与区域B不重合, 则它们的总的面积等于各个区域的面积之和11SAB如果n个事件A1,A2,An互不相容, 则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)这个性质称为概率的有限可加性但在建立概率公理化体系时需要规定概率应具有完全可加性(又称可列可加性), 即如果可列个事件A1,A2,两两互不相容, 则有SA1A2A3A4若n个事件A1,A2,An构成一完备事件组, 则它们的概率的和为1, 即 P(A1)+P(A2)+P(An)=1特别地, 两个对立事件概率之和为1, 即示意图SSA1A2A3A4AA经常有一些概率论的较
4、难的题, 直接计算某事件的概率困难, 因此考虑先求此事件的逆事件的概率例 掷3次硬币, 求至少一次正面朝上的概率.解: 假设A=至少一次正面, 则 A=全是反面, 只包含一个基本事件.基本事件总数为23=8, 因此如果BA, 则P(B-A)=P(B)-P(A)这是因为, 如果BA, 则必有B=A+(B-A), 而A与B-A互不相容, 因此P(B)=P(A)+P(B-A)BA对任意两个事件A,B, 有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)这被称为广义加法法则AB这是因为A+B=A+(B-AB), 而A与B-AB互斥,因此P(A+B)=P(A)+P(B-AB), 而因为BAB则P(A+B)=
5、P(A)+P(B)-P(AB)AB由广义加法法则可以推导出多个事件的和的概率公式例如, 考虑任意三个事件之和A+B+C的概率P(A+B+C), 先将B+C看作一个事件, 得P(A+B+C)=P(A)+P(B+C)-PA(B+C)=P(A)+P(B+C)-P(AB+AC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(BC)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)SABC例 产品有一, 二等品及废品3种, 若一, 二等品率分别为0.63及0.35, 求产品的合格率与废品率.解 令事件A表示产品为合格品, A1,A
6、2分别表示一,二等品. 显然A1与A2互不相容, 并且A=A1+A2, 则P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.63+0.35=0.98 P(A )=1-P(A)=1-0.98=0.02注意此题并非古典概型题.例 一个袋内装有大小相同的7个球, 4个是白球, 3个为黑球. 从中一次抽取3个, 计算至少有两个是白球的概率.解 设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球(i=2,3), 显然A2与A3互不相容, 且例 50个产品中有46个合格品与4个废品, 从中一次抽取3个, 求其中有废品的概率.解 设事件A表示取到的3个中有废品, 则事件A的逆为取到的3个产品中没有废品更好计算一些
7、, 因此有在严格的概率论公理化体系中, 把一个随机事件的概率所应具备的三个基本属性作为建立概率的数学理论的出发点, 直接规定为三条公理, 即:(1)对任何事件A, P(A)0;(2)P(S)=1(3) 若可列个事件A1,A2,两两不相容, 则而前面的加法法则只是公理(3)的一种特殊情况(1)对任何事件A, P(A)0;(2)P(S)=1(3) 若可列个事件A1,A2,两两不相容, 则而前面的加法法则只是公理(3)的一种特殊情况(1998年MBA试题)(A)0.4(B)0.6(C)0.7(D)0.8(E)0.9(A)0.4(B)0.6(C)0.7(D)0.8(E)0.9解：根据狄.摩根定理(19
8、92年研究生入学考试题)(1990年研究生入学考试题)解 由已知得:例4 已知P(A )=0.5, P(AB )=0.2, P(B)=0.4, 求(1) P(AB); (2) P(A-B); (3) P(AB); (4) P(AB) 解 (1) 因为AB +AB=B, 且AB与AB是互不相容的, 故有P(AB)+P(AB )=P(B)于是P(AB)=P(B)-P(AB )=0.4-0.2=0.2(2) P(A)=1-P(A )=1-0.5=0.5P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5-0.2=0.3(3) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.7例5 观察
9、某地区未来5天的天气情况, 记Ai为事件:有i天不下雨, i=0,1,2,3,4,5. 已知P(Ai)=iP(A0), i=1,2,3,4,5. 求下列各事件的概率:(1) 5天均下雨; (2) 至少一天不下雨; (3) 至多三天不下雨.解 显然A0,A1,A2,A3,A4,A5是两两不相容的互斥事件且A0+A1+A2+A3+A4+A5=S, 从而于是可求得记(1),(2),(3)中三个事件分别为A,B,C,则例6 某城市中发行2种报纸A,B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, 订阅A报的有45%, 订阅B报的有35%, 同时订阅2种报纸A,B的有10%. 求只订一种报纸的概率a.解 记事件A=订阅A报, B=订阅B报, 则只订一种报=(A-B)(B-A)=ABBA又这两事件是互不相容的, 因此有 a=P(A-AB)+P(B-AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.45-0.1+0.35-0.1=0.6作业习题集第6页 第22题第7页 第7题学号不小于2003021561的学生交作业
