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1、简单的线性规划及实际应用一、 内容归纳1知识精讲：（1）二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线（B不为0）及点，则若B0，则点P在直线的上方，此时不等式表示直线的上方的区域；若B0，则点P在直线的下方，此时不等式表示直线的下方的区域；（注：若B为负，则可先将其变为正）（2）线性规划： 求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题；可行解：指满足线性约束条件的解（x,y）; 可行域：指由所有可行解组成的集合；2重点难点: 准确确定二元一次不等式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题3思维方式: 数形结合.4特别注意: 解线性规划时应先确定可行域；注意不等式中与
2、对可行域的影响；还要注意目标函数中和在求解时的区别.二、问题讨论1、 二元一次不等式（组）表示的平面区域例1、画出下列不等式（或组）表示的平面区域（2）(优化设计P109例1)求不等式表示的平面区域的面积。解：（1）不等式x-2y+10表示直线x-2y+10右下方的点的集合不等式x+2y+10表示直线x+2y+10右上方的点的集合不等式可化或，它表示夹在两平行线x=-1和x=1之间或夹在两平行线x=3或x=5之间的带状区域，但不包括直线x=1或x=3上的点所以原不等式表示的区域如图所示图1yx解（2）先画出的图形，由对称性得表示的图形，如图1：，再把图形向右、向左都平移1个单位得的图形，如图2
3、表示图2中的正方形内部，故所求的平面区域的面积为S=8（单位）图2yx【评述】画图时应注意准确，要注意边界，若不等式中不含“=”号，则边界应画成虚线，否则应画成实线。2、应用线性规划求最值例2、设x,y满足约束条件分别求：(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，(x,y均为整数)的最大值，最小值。解：（1）先作出可行域，如图所示中的区域，且求得A(5,2),B(1,1),C(1,)作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值所以zmin=16;zmax=50（
4、2）同上，作出直线L0：2x-y=0，再将直线L0平移，当L0的平行线过C点时，可使z=2x-y达到最小值当L0的平行线过A点时，可使z=2x-y达到最大值所以zmin=16;zmax=8（3）同上，作出直线L0：2x-y=0，再将直线L0平移，当L0的平行线过C点时，可使z=2x-y达到最小值当L0的平行线过A点时，可使z=2x-y达到最大值8但由于不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数所以可行域内的点C(1,)不是最优解当L0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z=2x-y达到最小值所以zmin=-2. 几个结论：(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取
5、得，也可能在边界处取得。(如：上题第一小题中z=6x+10y的最大值可以在线段AC上任一点取到)（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义在y轴上的截距或其相反数。3、线性规划的实际应用例3、(优化设计P109例2)某人上午7时，乘摩托艇以匀速V海里时(4V20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速W千米时(30W100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时，(1) 作出表示满足上述条件的x、y范围；y2y+3x=381491491032.5ox2y+3x=012.5(2) 如果已知所
6、要经费P=100+3(5-x)+2(8-y)(元)，那么V、W分别是多少时，走得最经济?此时需花费多少元?解：由题得， 所以 ， 由于乘汽车、摩托车所需的时间和应满足：，因此满足上述条件的点（x,y）的范围是图中的阴影部分（包括边界）（2） P=100+3(5-x)+2(8-y) 要使最小，则最大。在图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为的直线中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10, y=4时p最小。此时，v=12.5. w=30, p的最小值为39元。【解题回顾】要能从实际问题中，建构有关线性规划问题的数学模型例4(优化设计P110页) 某矿山车队有4辆载重量为10吨的甲型卡
7、车和7辆载重量为6吨的乙型卡车,有9名驾驶员,此车队每天至少要运360吨矿石至冶炼厂。已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次。甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元。问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花费成本最底？解：设每天派出甲型车x辆，乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么 其中y作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图中绿色区域。5x+4y=30xo作出直线：把直线向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴的截距最小。观察图形，可见当直线经过点（2，5）时，满足x+y=9上面要求。此时，取得最小值，即x=2,y=5时，
8、答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低。【解题回顾】由于派出的车辆数为整数，所以必须寻找最优整数解。这对作图的要求较高，平行直线系的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域内的各整点，然后以z取得最值的附近整数为基础通过解不等式组可以找出最优解.。 备用题例5、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：块数 规格种类ABC第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积为：第一种1m2，第二种2 m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需的三种规格成品，且使
9、所用钢板面积最小？8l11228l2xyl3O1216例5图A解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为m2，则有：，作出可行域，得与的交点为A（），当直线过点A时最小，但A不是整点，而在可行域内，整点（4，8）和（6，7）都使最小，且，所以应分别截第一、第二种钢板4张、8张，或6张、7张，能满足要求.思维点拔在可行域内找整点最优解的常用方法有：（1）打网格，描整点，平移直线，找出整点最优解；（2）分析法：由于在A点.，而比19.5大的最小整数为20，在约束条件下考虑的整数解，可将代入约束条件，得，又为偶数，故或.三、课堂小结：解线性规划问题的步骤：(1)设:先设变量，列出约束条件和目标函数；再作出可行域，（2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； （4）求：通过解方程组求出最优解； （5）答：作出答案。 四、【布置作业】优化设计P110、P111作业人员在生产作业时必须按规定穿符合生产作业要求的工作服，袖口与腰带必须牢牢扎紧，不得穿破损工作服，以免在机器运行或设备旋转时受到伤害
