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1、第一章 绪论1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型1.2 基本概念习题1.2 1指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解 （1）一阶线性微分方程；（2）二阶非线性微分方程；（3）一阶非线性微分方程；（4）二阶线性微分方程；（5）一阶非线性微分方程；（6）二阶非线性微分方程2试验证下面函数均为方程的解，这里是常数（1）；（2）是任意常数)；（3）；（4）是任意常数)；（5）是任意常数)；（6）是任意常数)解 （1），所以，故为方程的解（2），所以，故为方程的解（3），所以，故为方程的解（4），所以，故为方程的解（5），所以，故为方程的解（6
2、），故，因此为方程的解3验证下列各函数是相应微分方程的解：（1），；（2），（是任意常数）；（3），（是任意常数）；（4），；（5），；（6），；（7），；（8），证明 （1）因为，所以（2）由于，故（3）由于，于是（4）由，因此（5）因为，所以（6）从，得（7）由，得到（8）4给定一阶微分方程，（1）求出它的通解；（2）求通过点的特解；（3）求出与直线相切的解；（4）求出满足条件的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形解 （1）通解 （2）由，得到，所以过点的特解为（3）这时，切点坐标为，由，得到，所以与直线相切的解为（4）由，得到，故满足条件的解为（5）如图1-1所示图1-15求
3、下列两个微分方程的公共解：（1）；（2）解 公共解必须满足，即，得到或是微分方程和的公共解6求微分方程的直线积分曲线解 设直线积分曲线为，两边对求导得，若，则，得到，不可能故必有，则，代入原方程有，或，所以， ，得到 或所求直线积分曲线为和7微分方程，证明其积分曲线关于坐标原点成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线证明 设是微分方程的积分曲线，则与其关于坐标原点成中心对称的曲线是由于适合微分方程，故，分别以代，亦有，而由，得到，从而也是此微分方程的积分曲线8物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由C冷至C，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到C？假设空气的
4、温度为C解 设物体在时刻的温度为，微分方程为，解得 ，根据初始条件，得，因此，根据 ，得到，由此，所以得到，当时，解出（分钟）（小时）在1小时的时间内，这个物体的温度达到C9试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：（1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长；（3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分；（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；（7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比（提示：过点d的横截距和纵截距分别为和）解 （1）曲线上任一点为，则，即（2）曲线上任一点处的切线方程为，与两坐标轴交点为和，两点间距离为，即（3）由（2），有 ，或（4）由（2），有 ，或（5）由（2），（6）同样由（2），或（7）易得 （为常数且）
